波动性的用途和限制 编辑

投资者喜欢关注高回报的承诺，但他们也应该问，为了获得这些回报，他们必须承担多大的风险。虽然我们经常从一般意义上讲风险，但也有风险报酬关系的正式表达。

例如夏普比率衡量每单位风险的超额回报，其中风险计算为波动，这是一种传统且流行的风险度量方法。它的统计特性是众所周知的，并且它被输入到几个框架中，例如现代投资组合理论以及期权定价模型 . 在本文中，我们研究波动性，以了解其用途和局限性。

年化标准差

不像隐含波动率-哪个属于期权定价理论这是一个基于市场共识的前瞻性估计，定期波动率向后看。具体来说，是年化的标准差of历史收益 .

依赖标准差的传统风险框架通常假设收益符合正态钟形分布。正态分布给我们提供了方便的指导：大约三分之二的时间（68.3%），回报率应该在一个标准差（+/-）之内；95%的时间，回报率应该在两个标准差之内。一个人的两个品质正态分布图形是瘦尾巴和完美的对称。窄尾意味着回报率与平均值相差超过三个标准差的几率非常低（约为0.3%）。对称性意味着上行收益是下降趋势 损失。

因此，传统的模型将所有不确定性视为风险，而不考虑方向。正如许多人所表明的那样，如果回报率不对称，那就是一个问题——投资者担心自己的损失“在平均水平的左边”，但他们不担心收益在平均水平的右边。

下面我们用两个虚构的股票来说明这个怪癖。下跌的股票（蓝线）毫无价值分散 因此产生的波动率为零，但上涨的股票，因为它表现出几次上行冲击，但没有一次下跌产生10%的波动率（标准差）。

理论性质

例如，当我们计算标准普尔500指数 截至2004年1月31日，我们的收益率在14.7%到21.1%之间。为什么会有这样的范围？因为我们必须选择一个时间间隔和一个历史时期。在时间间隔方面，我们可以收集一系列每月、每周或每日（甚至每日内）的回报。而我们的一系列回报可以追溯到任何长度的历史时期，比如三年、五年或十年。下面，我们用三个不同的区间计算了标准普尔500指数10年期收益率的标准差：

请注意，波动性会随着时间间隔的增加而增加，但几乎不是成比例的：每周的波动率不是每日波动率的近5倍，每月的波动率也不是每周波动率的近4倍。我们已经了解了随机游走理论：与时间平方根成比例的标准偏差标度（增加）。因此，如果日标准差为1.1%，如果一年中有250个交易日，则年化标准差为1.1%的日标准差乘以250的平方根（1.1%x15.8=18.1%）。知道了这一点，我们可以按年计算 标准普尔500指数的区间标准差乘以一年中区间数的平方根：

波动性的另一个理论属性可能会也可能不会让你感到惊讶：它会侵蚀回报。这是由于随机游走思想的关键假设：回报率以百分比表示。想象一下，你从100美元开始，然后获得10%的收益，得到110美元。然后你会损失10%，这将使你净赚99美元（110 x 90%=99美元）。然后你再次获得10%，净赚108.90美元（99 x 110%=108.9美元）。最后，你输了10%，净赚98.01美元。这可能是违反直觉的，但你的本金正在慢慢侵蚀，即使你的平均收益是0%！

例如，如果你预期平均年收益为10%（即算术平均值），那么你的长期预期收益就不到10%。事实上，它将减少一半左右方差 （其中方差是标准偏差的平方）。在下面的纯假设中，我们从100美元开始，然后想象五年的波动以157美元结束：

五年的平均年回报率为10%（15%+0%+20%-5%+20%=50%÷；5=10%），但年均复合增长率（复合年增长率，或几何回报率）是对已实现收益仅为9.49%。波动性侵蚀了结果，差异约为1.1%方差的一半。这些结果并不是来自一个历史的例子，而是在给定一个 $西格玛$σ（方差是标准差的平方）， $西格玛^{2}$σ2预期平均收益 $亩$μ预期年化收益率约为 $mu-（sigma^2div2）。$μ−(σ2&划分；2). 

回报是否表现良好？
理论框架无疑是优雅的，但它取决于表现良好的回报。即，正态分布和随机游走（即从一个周期到下一个周期的独立性）。这与现实相比如何？我们收集了过去10年标准普尔500指数和纳斯达克 以下（每日观察约2500次）：

如你所料，纳斯达克指数的波动率（年化标准差为28.8%）大于标准普尔500指数的波动率（年化标准差为18.1%）。我们可以观察到正态分布和正态分布之间的两个区别实际收益. 首先，实际回报有更高的峰值-这意味着更大的优势回报接近平均水平。第二，实际回报率的尾部更大。（我们的发现在某种程度上与更广泛的学术研究一致，后者也倾向于发现高峰和厚尾；这方面的技术术语是峰度 ). 假设我们认为负三个标准差是一个巨大的损失：标准普尔500指数每天都会出现负三个标准差的损失，约占-3.4%。正常曲线预测这样的损失在10年内会发生3次，但实际上发生了14次！

这些都是独立区间收益率的分布，但理论对收益率随时间的变化有何解释？作为测试，让我们看看标普500指数的实际日分布。在这种情况下平均年回报率（过去10年）约为10.6%，如前所述，年化波动率为18.1%。在这里，我们进行了一个假设性试验，从100美元开始，持有10年，但我们将每年的投资暴露在一个随机结果中，平均值为10.6%，标准偏差为18.1%。这次试验进行了500次，这就是所谓的蒙特卡罗模拟 . 500次试验的最终价格结果如下：

正态分布仅用于强调非常非正态的价格结果。从技术上讲，最终的价格结果是对数正态分布（这意味着，如果x轴转换为x的自然对数，则分布看起来更为正态）。关键是，有几个价格结果是正确的：在500个试验中，有6个结果产生了700美元的期末结果！这些珍贵的少数成果在10年内，每年平均收益超过20%。在左边，由于余额的下降减少了损失百分比的累积影响，我们只得到了不到50美元的少数最终结果。总结一个困难的想法，我们可以说，以百分比表示的区间收益率是正态分布的，但最终的价格结果是对数正态分布的。

最后，我们试验的另一个发现与波动性的“侵蚀效应”是一致的：如果你的投资每年获得的收益正好是平均值，那么到最后你将持有约273美元（10年的复合收益率为10.6%）。但在这个实验中，我们的总体预期收益接近250美元。换句话说，平均（算术）年收益为10.6%，但累积（几何）收益较少。

关键是要记住，我们的模拟假设一个随机游走：它假设从一个周期到下一个周期的回报是完全独立的。我们没有用任何方法证明这一点，这不是一个微不足道的假设。如果你相信回报率跟随趋势，那么从技术上讲，你是说回报率表现出积极的一面序列相关 . 如果你认为他们恢复到平均值，那么从技术上说，你是说他们显示负序列相关。这两种立场都不符合独立。

底线
波动率是回报的年化标准差。在传统的理论框架下，它不仅度量风险，而且影响长期（多期）收益预期。因此，它要求我们接受区间收益是正态分布和独立的可疑假设。如果这些假设是真的，那么高波动性就是一把双刃剑：它侵蚀了你预期的长期回报（它将算术平均值降低到几何平均值），但它也为你提供了更多的机会，让你获得一些大的收益。