连续复利 编辑

复利是指按初始利率计算的利息；主要的&以及以前存款或贷款期间的累计利息复利 取决于频率。

假设年利率为12%。如果我们以100美元开始一年，只复利一次，到年底，本金增长到112美元（100 x 1.12=112美元）。仅适用于该原则的利息称为单利。如果我们合成每月 按1%计算，我们年底的收入超过了112美元。也就是说，$100x1.01^12等于$112.68。（更高是因为我们更频繁地复利。）

连续复利 复利是所有复利中最常见的一种。连续复利是复利可以达到的数学极限。这是一种极端的复利情况，因为大多数利息是按月、每季度或每半年复利的。

关键要点

• 单利只适用于本金，不适用于任何累计利息。
• 复利是指按本金和以前使用的利息累计的利息。
• 复利的效果取决于它的使用频率。
• 对于债券，债券等价收益率是预期的年回报率。
• 连续复利收益在多个时期内不断扩大。
• 利率复利的最高频率被称为连续复利。

半年回报率

首先，让我们来看看一个可能令人困惑的问题惯例. 在债券市场，我们指的是债券等价收益率 （或债券等价基础）。这意味着，如果一只债券每半年收益率为6%，其债券等价收益率为12%。

每半年的产量只是翻了一番。这可能令人困惑，因为有效产量 12%债券的等价收益率为12.36%（即1.06^2=1.1236）。半年收益率翻番只是一种债券命名惯例。因此，如果我们看到一个8%的债券半年复利，我们假设这是指4%的半年收益率。

季度、月度和每日回报率

现在，让我们来讨论更高的频率。我们仍假设年市场利率为12%。按照债券命名惯例，这意味着半年复合利率为6%。我们现在可以把季度复合利率表示为市场利率的函数。

给定年市场利率(r） 哦，季度复合利率(r_q) 由下式给出：

 $egin{aligned}&ru q=4左[left（frac{r}{2}+1右）^frac{1}{2}-1右]end{aligned}$rq=4[(2r+1)21−1] 

例如，年市场利率为12%，季度复合利率为11.825%：

 $egin{aligned}&ru q=4左[left（frac{12\%}{2}+1右）^frac{1}{2}-1右]从11.825\%结束{aligned}$rq=4[(212%+1)21−1]≅11.825% 

类似的逻辑也适用于月度复利。月复费率(r_m)作为年市场利率的函数(r） 地址：

 $egin{aligned}ru m&；=12left[left（frac{r}{2}+1ight）^frac{1}{6}-1ight]&；=12left[left（frac{12\%}{2}+1ight）^frac{1}{6}-1ight]&；cong 11.71\% end{aligned}$rm=12[(2r+1)61−1]=12[(212%+1)61−1]≅11.71%

每日复合费率(d)作为市场利率的函数(r) 由下式给出：

 $egin{aligned}ru d&；=360left[left（frac{r}{2}+1ight）^frac{1}{180}-1ight]&；=360left[left（frac{12\%}{2}+1ight）^frac{1}{180}-1ight]&；cong 11.66\% end{aligned}$rd=360[(2r+1)1801−1]=360[(212%+1)1801−1]≅11.66% 

连续复配的工作原理

如果我们把复合频率提高到极限，我们就是在不断复合。虽然这可能并不实际，但持续复合利率提供了非常方便的特性。结果表明，连续复合利率由以下公式得出：

 $egin{aligned}&r{continuous}=ln（1+r） end{aligned}$rcontinuous=ln(1+r) 

时间增量越小，获得的利息就越少。

项次（） 是自然对数，因此在我们的示例中，连续复合速率为：

 $egin{aligned}&r{continuous}=ln（1+0.12）=ln（1.12）cong 11.33\%end{aligned}$rcontinuous=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33% 

我们通过取这个比率的自然对数得到相同的位置：结束值除以起始值。

 $egin{aligned}&r{continuous}=lnleft（frac{ ext{Value} ext{End}}{ ext{Value}uux} ext{Start}ight）=lnleft（frac{112}{100}ight）cong 11.33\%End{aligned}$rcontinuous=ln(价值起点价值终点)=ln(100112)≅11.33% 

后者在计算股票的连续复合收益率时很常见。例如，如果股票从一天的10美元跳到第二天的11美元，则连续复合日回报率由下式给出：

 $egin{aligned}&r{continuous}=lnleft（frac{ ext{Value} ext{End}}{ ext{Value}uuux} ext{Start}ight）=lnleft（frac{$11}{$10}ight）cong 9.53\%End{aligned}$rcontinuous=ln(价值起点价值终点)=ln($10$11)≅9.53% 

连续复合利率（或收益率）有什么了不起的地方，我们用r来表示_c ? 首先，它很容易向前扩展。假设本金为（P），我们（n）年的最终财富为：

 $egin{aligned}&w=Pe^{ru c n} end{aligned}$w=Percn 

请注意；e 是指数函数。例如，如果我们从100美元开始，并在三年内以8%的比例连续复利，那么最终的财富是：

 $egin{aligned}&w=$100e^{（0.08）（3）}=$127.12 end{aligned}$w=$100e(0.08)(3)=$127.12 

贴现到现值（PV）仅仅是反向复利，那么未来价值（F） 以…的速度连续合成(r_c) 由下式给出：

 $egin{aligned}&； ext{PV of F received in（n）years}=frac{F}{e^{ru c n}}}=Fe^{-ru c n} end{aligned}$n年内收到的F的PV=ercnF=Fe−rcn 

例如，如果您将在三年内以6%的连续利率获得100美元，则其现值由下式给出：

 $egin{aligned}&； ext{PV}=Fe^{-rucn}=（$100）e^{-（0.06）（3）}=$100 e^{-0.18}cong$83.53 end{aligned}$PV=Fe−rcn=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53 

多周期缩放

连续复合收益的便利性在于它可以在多个时期内扩展。如果第一期回报率为4%，第二期回报率为3%，那么两期回报率为7%。假设我们以100美元开始一年，第一年年底增长到120美元，第二年年底增长到150美元。连续复合收益率分别为18.23%和22.31%。

 $开始{aligned}&；ln左（frac{120}{100}右）cong 18.23\%结束{aligned}$ln(100120)≅18.23% 

 $开始{aligned}&；ln左（frac{150}{120}右）cong 22.31\%结束{aligned}$ln(120150)≅22.31% 

如果我们把这些加起来，我们得到40.55%。这是两期回报：

 $开始{aligned}&；ln左（frac{150}{100}右）cong 40.55\%结束{aligned}$ln(100150)≅40.55% 

从技术上讲，连续收益是时间一致的。时间一致性是一个技术问题风险价值要求（变量）。这意味着如果单期收益率是正态分布的随机变量 ，我们希望多周期随机变量也是正态分布的。此外，多期连续复合收益率是正态分布的（不同于简单的百分比收益率）。

连续复配常见问题

连续复合是什么意思？

连续复利意味着利息复利的频率没有限制。复利可以持续发生无限次，这意味着余额一直在赚取利息。

你的意思是每天吗？

连续复利是指利息每时每刻都在复利，即使是在最小的可量化时间段。因此，复合持续发生的频率比每天都高。

为什么使用连续复配？

连续复利用于显示当利息不断累积时，余额能赚多少。对于投资者来说，他们可以计算出他们期望从一项获得持续复合利率的投资中获得多少收益。

离散复利和连续复利有什么区别？

离散复合 在特定时间应用利息，例如每天、每月、每季度或每年。离散复利明确定义了利息的使用时间。连续复利在每一个时刻持续地应用利息。

每年复利和连续复利有什么区别？

按年复利是指利息每年适用于本金和以前累计的利息；而连续复利是指利息每时每刻适用于本金和累计的利息。连续复利没有一部分时间不适用利息。

底线

我们可以将年利率重新表述为半年利率、季度利率、月利率或日利率（或收益率）。最常见的复利是连续复利，这要求我们使用自然对数和指数函数，由于其理想的性质，通常用于金融。复利连续收益很容易在多个时期内实现规模化，而且具有时间一致性。