多元线性回归（MLR）定义 编辑

什么是多元线性回归（MLR）？

多元线性回归（MLR），也称为多元回归，是一种使用多个解释变量来预测响应变量结果的统计技术。多元线性回归（MLR）的目标是建立线性关系 解释变量（自变量）和反应变量（因变量）之间。

从本质上讲，多元回归是普通最小二乘法（OLS）的推广回归 因为它涉及到不止一个解释变量。

关键要点

• 多元线性回归（MLR），也称为多元回归，是一种使用多个解释变量来预测响应变量结果的统计技术。
• 多元回归是线性（OLS）回归的扩展，它只使用一个解释变量。
• MLR在计量经济学和金融推理中有着广泛的应用。

多元线性回归的公式与计算

 $开始{aligned}&yu i=etau 0+etau 1 x{i1}+etau 2 x{i2}+。。。+eta{p x{ip}+epsilon&； extbf{where，for}i=n extbf{observations:}&；y{i= ext{dependent variable}&；x{i= ext{explorative variables}&；etau 0= ext{y-intercept（常数项）}&；etau p= ext{slope coefficients for each explorative variables}&；epsilon= ext{模型的误差项（也称为残差）}end{对齐}$yi=β0+β1xi1+β2xi2+...+βpxip+ϵ其中，对于；i=n 观察：yi=因变量xi=解释变量β0=y截距（常数项）βp=每个解释变量的斜率系数ϵ=模型误差项（也称为残差） 

多元线性回归能告诉你什么

简单线性回归是一个函数，它允许分析员或统计学家根据已知的另一个变量的信息对一个变量进行预测。只有当一个变量有两个连续变量，一个自变量和一个因变量时，才可以使用线性回归。自变量是用来计算因变量或结果的参数。多元回归模型扩展到几个解释变量。

多元回归模型基于以下假设：

• 有一个线性关系在因变量和自变量之间
• 自变量不太高相关彼此之间
• y_i观察是从人群中独立随机选择的
• 残余应为正态分布平均值为0和方差σ

这个决定系数（R平方）是一种统计指标，用来衡量结果的变化有多少可以用自变量的变化来解释。右² 总是随着MLR模型中添加更多的预测因子而增加，即使预测因子可能与结果变量无关。

R²因此，它本身不能用来确定哪些预测因子应该包含在模型中，哪些应该排除。右²只能在0和1之间，其中0表示结果不能由任何自变量预测，1表示结果可以在没有自变量误差的情况下预测。 

当解释多元回归的结果时，β系数是有效的，同时保持所有其他变量不变（“所有其他变量相等”）。多元回归的输出可以水平显示为方程式，也可以垂直显示为表格形式。 

如何使用多元线性回归的示例

例如，分析师可能想知道市场的变动如何影响埃克森美孚（ExxonMobil）的价格。在这种情况下，他们的线性方程将标准普尔500指数的值作为自变量或预测值，XOM的价格作为因变量。

事实上，有多种因素可以预测事件的结果。例如，埃克森美孚的价格走势不仅仅取决于整个市场的表现。其他预测因素，如石油价格、利率和石油价格变动期货 会影响XOM的价格和其他石油公司的股价。为了理解存在两个以上变量的关系，使用了多元线性回归。

多元线性回归（MLR）用于确定多个随机变量之间的数学关系。换句话说，MLR检验了多个自变量如何与一个因变量相关。一旦确定了每个独立因素来预测因变量，就可以使用多个变量的信息来准确预测它们对结果变量的影响程度。该模型以直线（线性）的形式创建关系，该关系最接近所有单个数据点。 

参考上述MLR方程，在我们的示例中：

• y_i=因变量XOM的价格
• x_i1=利率
• x_i2=石油价格
• x_i3=标准普尔500指数的价值
• x_i4=石油期货价格
• B₀=时间零点的y截距
• B₁=回归系数当x_i1变化-利率变化时XOM价格的变化
• B₂=当x_i2油价变化时XOM价格的变化

最小二乘估计，B₀，乙₁，乙₂…乙_p ，通常由统计软件计算。回归模型中可以包含许多变量，其中每个自变量用数字1、2、3、4…p进行区分。多元回归模型允许分析员根据提供的关于多个解释变量的信息预测结果。

尽管如此，该模型并不总是完全准确的，因为每个数据点都可能与模型预测的结果略有不同。残值E是实际结果和预测结果之间的差异，它被包括在模型中以解释这种微小的变化。

假设我们通过一个统计计算软件运行XOM价格回归模型，它返回以下输出：

一位分析师将这一产出解释为，如果其他变量保持不变，如果市场油价上涨1%，XOM的价格将上涨7.8%。模型还显示，在利率上升1%后，XOM的价格将下降1.5%。右² 埃克森美孚股价的86.5%的变动可以用利率、油价、石油期货和标准普尔500指数的变动来解释。

线性回归与多元回归的区别

普通线性平方 （OLS）回归比较了因变量在某些解释变量发生变化时的反应。然而，一个因变量只能用一个变量来解释是很少见的。在这种情况下，分析员使用多元回归，试图用一个以上的自变量来解释因变量。多元回归可以是线性的，也可以是非线性的。

多元回归是建立在因变量和自变量之间存在线性关系的假设基础上的。它还假设自变量之间没有主要的相关性。

常见问题

什么使多元回归成为多元的？

多元回归考虑了一个以上的解释变量对某些结果的影响。当保持模型中所有其他变量不变时，它评估这些解释性变量或自变量对因变量的相对影响。

为什么要使用多元回归而不是简单的OLS回归？

一个因变量只有一个变量来解释是很少见的。在这种情况下，分析员使用多元回归，试图用一个以上的自变量来解释因变量。然而，该模型假设自变量之间没有主要的相关性。

我能手工做多元回归吗？

可能不会。多元回归模型是复杂的，当模型中包含更多的变量或要分析的数据量增加时，情况就更为复杂。要运行多元回归，您可能需要使用专门的统计软件，或Excel等业务程序中的函数。

多元回归是线性的意味着什么？

在多元线性回归中，模型计算最佳拟合线 它使每个变量的方差最小化，因为它与因变量相关。因为它符合一条直线，所以它是一个线性模型。还有涉及多变量的非线性回归模型，如logistic回归、二次回归和probit模型。

多元回归模型在金融中是如何使用的？

任何着眼于多个变量的计量经济模型都可能是多元回归。因子模型例如，比较两个或多个因素以分析变量之间的关系和结果性能。这个法玛与法国三因素模型是这样一个扩展到资本资产定价模型 （CAPM）将规模风险和价值风险因素加入CAPM中的市场风险因素（这本身就是一个回归模型）。通过包含这两个额外的因素，该模型调整了这种表现优于趋势，这被认为是一个更好的工具来评估经理的业绩。