指数加权移动平均的探讨 编辑

波动性是最常见的风险度量，但它有几种不同的形式。在上一篇文章中，我们演示了如何计算历史波动率 . 在本文中，我们将改进简单波动率，并讨论指数加权移动平均（EWMA）。

历史波动率与隐含波动率

首先，让我们从一个角度来看待这个指标。主要有两种方法：历史方法和历史方法隐含（或隐含）波动率. 历史方法假定过去是序幕；我们衡量历史是希望它是预测性的。另一方面，隐含波动性忽略了历史；它解决了市场价格隐含的波动性。它希望市场最了解情况，希望市场价格包含，即使是隐式的一致估计 波动性。

如果我们只关注三种历史方法（上图左侧），它们有两个共同的步骤：

1. 计算周期性收益序列
2. 应用加权方案

首先，我们计算周期收益率。这通常是一系列的日收益率，其中每个收益率都是以连续复合的方式表示的。对于每一天，我们采用股票价格比率的自然对数（即今天的价格除以昨天的价格，依此类推）。

 $egin{aligned}&u i=lnfrac{s{u i}{s{i-1}&textbf{where:}&u i= ext{Return on day}i&su i= ext{Stock price on day}i&su i= ext{Stock price on day}i&s{i-1}= ext{Stock price on day}i end{aligned}$ui=lnsi−1si哪里：ui=在第天返回；isi=当日股价；isi−1=前一天的股价；i 

这产生了一系列的每日回报，来自美国_i到u_我-我 ，取决于我们测量的天数（m=天）。

这让我们进入第二步：这是三种方法的不同之处。在上一篇文章中，我们展示了在几个可接受的简化下，简单的方差 是平方收益的平均值：

 $egin{aligned}&； ext{Variance}=sigma^2u n=frac{1}{m}sum{i=1}^m u^2u{n-1}&； extbf{其中：}&；m= ext{Number of days measured}&n= ext{Day}i&u= ext{Difference of return from average return} end{aligned}$方差=σn2=m1i=1∑mun−12哪里：m=测量的天数n=日；iu=回报率与平均回报率之差 

请注意，这将对每个定期回报进行求和，然后将该总和除以天数或观察次数（m）。所以，它实际上只是周期收益的平方平均值。换言之，每个平方收益都有相等的权重。所以如果阿尔法 （a） 是一个加权因子（具体来说，a=1/m），那么一个简单的方差如下所示：

EWMA改进了简单方差
这种方法的缺点是，所有收益的权重相同。昨天（最近）的回报对方差的影响不比上个月的回报大。这个问题是通过使用指数加权移动平均法（EWMA）来解决的，在EWMA中，最近的收益对方差的权重更大。

指数加权移动平均法（EWMA）引入了λ，称为平滑参数。Lambda必须小于1。在这种情况下，每个平方收益率的权重不是相等的，而是由一个乘数 具体如下：

例如，RiskMetrics^TM_,a财务风险管理公司，倾向于使用0.94，或94%的lambda。在这种情况下，第一个（最近的）平方周期收益率加权（1-0.94）（.94）⁰= 6%. 下一个平方返回值只是之前权重的λ倍数；在本例中，6%乘以94%=5.64%。前三天的体重等于（1-0.94）（0.94）² = 5.30%.

这就是EWMA中“指数”的含义：每个权重都是前一天权重的常数乘数（即lambda，必须小于1）。这确保了方差加权或偏向于较新的数据。谷歌的简单波动率和EWMA的区别如下所示。

简单波动率有效地将每个周期收益率加权0.196%，如O列所示（我们有两年的每日股价数据）。即509日收益率和1/509=0.196%）。但是请注意，P列指定的权重是6%，然后是5.64%，然后是5.3%，以此类推。这是简单方差和EWMA的唯一区别。

记住：当我们对整个序列求和（在Q列中）之后，我们得到了方差，它是变量的平方标准差 . 如果我们想要波动性，我们需要记住取方差的平方根。

在谷歌的例子中，方差和EWMA的日波动率有什么不同？这很有意义：简单的方差给了我们2.4%的日波动率，而EWMA给我们的日波动率只有1.4%（详见电子表格）。显然，谷歌的波动性最近才稳定下来；因此，一个简单的方差可能是人为的高。

今天的差异是前几天差异的函数

你会注意到我们需要计算一长串指数递减的权重。我们在这里不做数学计算，但是EWMA的一个最好的特性是，整个序列可以方便地简化为一个递归公式：

 $egin{aligned}&；sigma^2u n（ ext{EWMA}）=lambdasigma^2u{n-1}+（1-lambda）u^2u{n-1}&； extbf{其中：}&； ext{EWMA}= ext{指数加权移动平均数}&；sigma^2u n= ext{方差今天}&；lambda= ext{加权程度}&；sigma^2{n-1}= ext{Variance today}&u^2{n-1}= ext{Squared return today}end{aligned}$σn2(EWMA公司)=λσn−12+(1−λ)un−12哪里：EWMA公司=指数加权移动平均σn2=今天的差异λ=加权程度σn−12=昨天的差异un−12=昨天返回的平方 

递归是指今天的方差引用（即是函数）前一天的方差。您也可以在电子表格中找到这个公式，它产生的结果与直接计算完全相同！它说：今天的方差（根据EWMA）等于昨天的方差（按λ加权）加上昨天的平方收益（按1减去λ加权）。请注意，我们只是将两项相加：昨天的加权方差和昨天的加权平方收益。

即便如此，lambda是我们的平滑参数。较高的lambda（例如，与RiskMetric的94%类似）表示序列中的衰减较慢–相对而言，我们将在序列中拥有更多的数据点，它们的衰减也将更慢。另一方面，如果我们减少lambda，我们表示更高的衰减：权重下降得更快，作为快速衰减的直接结果，使用的数据点更少。（在电子表格中，lambda是一个输入，因此您可以试验它的灵敏度）。

摘要

波动率是股票的瞬时标准差，也是最常见的风险度量。它也是方差的平方根。我们可以历史地或隐含地测量方差（隐含波动率）。在历史上衡量时，最简单的方法是简单的方差。但简单方差的缺点是所有收益的权重相同。因此，我们面临着一个典型的权衡：我们总是想要更多的数据，但我们拥有的数据越多，我们的计算就越被遥远（不太相关）的数据冲淡。指数加权移动平均法（EWMA）通过对周期收益分配权重，改进了简单方差法。通过这样做，我们既可以使用大样本量，但也给予更大的权重，最近的回报。