图（Graph）的定义，什么叫图？

Question

在前边讲解的线性表中，每个元素之间只有一个直接前驱和一个直接后继，在树形结构中，数据元素之间是层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中的一个元素相关。

但这仅仅都只是一对一，一对多的简单模型，如果要研究如人与人之间关系就非常复杂了。

图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G 表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

对于图的定义，我们需要明确几个注意的地方：

• 线性表中我们把数据元素叫做元素，树中叫节点，在图中数据元素我们称之为顶点(Vertex)。
• 线性表可以没有数据元素，称为空表，树中可以没有节点，叫做空树，而图要求顶点有穷且非空。
• 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的节点具有层次关系，而图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

图的各种奇葩定义

无向边

若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶(Vi,Vj)来表示。

上图 G1 是一个无向图，G1={V1,E1}，其中V1={A,B,C,D} E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

有向边

若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧(Arc)，用有序偶<vi,vj>来表示，Vi称为弧头，Vj称为弧尾。</vi,vj>

上图G2是以一个有向图，G2={V2,E2},其中V2={A,B,C,D}，E2={<b,a>,<b,c>,<c,a>,<a,d>}</a,d></c,a></b,c></b,a>

简单图

在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

无向完全图

在无向完全图，如果任意两个顶点之间都存在边，则称改图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。

有向完全图

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条弧。

稀疏图和稠密图

这里的稀疏图和稠密图是模糊概念，都是相对而言的，通常认为边或弧度小于 n*logn（n是顶点的个数）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

有些图的边或弧带有与他相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（weight），带权的图通常称为网（NetWork）。

子图

假设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果V2属于V1,E2属于E1,则称G2为G1的子图(Subgraph)。

图的顶点与边之间的关系

对于无向图 G=(V,E)，如果边 (V1,V2) 属于E,则称顶点V1和V2互为邻接点(Adjacent)，即V1和V2相邻接。边(V1,V2)依附(incident)于顶点V1和V2，或者说边(V1,V2)与顶点V1和V2相关联。

顶点V的度 (Degree) 是和V相关联的边的数目，记为TD(V)，如下图，顶点A与顶点B互为邻接点，边(A,B)依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。

对于有向图G=(V,E)，如果有<v1,v2>属于E,则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。</v1,v2>

以顶点V为头的弧的数目称为V的入度(InDegree)，记为ID(V)，以V为尾的弧的数目称为V的出度(OutDegree)，记为OD(V)，因此顶点V的度TD(V) = ID(V)+OD(V)。

如上图顶点A的入度为2，出度为1，所以顶点A的度为3。

无向图G=(V,E)中从顶点V1到顶点V2的路径(Path)。下图用红线列举了从顶点B到顶点D的四种不同路径:

如果G是有向图，则路径也是有向的。

下图用红线列举顶点B到顶点D的两种路径，二顶点A到顶点B就不存在路径啦：

路径的长度是路径上的边或弧的数目。

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。

序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

下图左侧是简单环，右侧不是简单环：

在无向图G中，如果从顶点V1到顶点V2有路径，则称为V1和V2是连通的，如果对于途中任意两个顶端Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

在有向图G中，如果对于每一对 Vi 到 Vj 都存在路径，则称 G 是强连通图。

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

如果有一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。