常用游戏算法：ELO 积分算法

Question

ELO 积分算法是用来计算玩家的相对技术等级，通常用于博弈类游戏，比如国际象棋，围棋。

Elo，并不是一个缩写，而是系统发明者的姓。

它本来是个改良的国际象棋积分系统，现在被广泛用于很多类比赛的选手分级。比如 帝国时代3，星际，魔兽争霸3，魔兽世界，剑侠情缘，dota，LOL 等等。

Elo 假设每个玩家在每盘游戏中的表现是一个正态分布的随机变量，尽管选手在不同的游戏中发挥可能差异很大，但每位选手在一段时间内表现的平均值变化很 小。Elo 用随机变量的平均值来代表选手的真正水平。

简单的说：每个选手在每盘游戏中的发挥都是不稳定的，80 的实力可能发挥出 85，或者发挥出 75， 但是随着比赛的不断进行，可以越来越多的趋近 80 这个真实水准。而 ELO 是用这个平均值来作为真实水准。

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数学公式

Ra: A选手当前分数
Rb: B选手当前分数

Ea: 预期A选手的胜负值
Ea = 1/(1+10^[(Rb-Ra)/400])

Eb: 预期B选手的胜负值
Eb = 1/(1+10^[(Ra-Rb)/400])

E值也是预估的双方胜率，所以 Ea + Eb = 1

Sa: 实际胜负值，胜 = 1， 平 = 0.5， 负 = 0
K： 每场比赛能得到的最大分数，魔兽里 k=32 

R'a: A选手一场比赛之后的积分
R'a = Ra + K(Sa-Ea)

R'b: B选手一场比赛之后的积分
R'b = Rb + K(Sa-Eb)

举例讲解

A队1500分，B队1600分，则
预估A队的胜负值 Ea = 1/(1+10^[(1600-1500)/400]) = 0.36
预估B队的胜负值 Eb = 1/(1+10^[(1500-1600)/400]) = 0.64

假设A队赢了，
A队最终得分为 R'a = 1500 + 32*(1-0.36) = 1500+20.5 = 1520, 赢20分，B队输20分。
假设B队赢了，
B队最终得分为 R'b = 1600 + 32*(1-0.64) = 1600 + 11.52 = 1612, 赢12分，A队输12分。

这就是为什么你赢高分队分数多，输给低分的输的也多，赢低分的分数很少。
其实K值就是这个方程的极限，所以理论上你最多可以赢一个队伍32分，实际上29-30已经差不多了，赢了不得分也是有可能的。

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ELO 与一般的得分制相比，优势在于它考虑到了选手本身的实力差距。比如一个较强的选手战胜了一个较弱的选手，这种胜利应该是理所当然的，因而获得的分数 就会相对较少。而反之一个较弱的选手战胜了一个较强的选手，这种胜利不太常见，就会相应提高赢得的分数。这样相对而言更为公平。很多玩家觉得疑惑，为什么我杀人最多，加的分数却最少，因为在你的队伍中，你的分数应该是最高的，所以胜利的加分最少。

而随着比赛场数的增加，你的最终的积分将会稳定在一个值附近。假如你的实力水准是 1800，你战胜了 1700 的玩家几乎是得不到什么分数的，所以你没法通过大量战胜低等级的对手来提升分数。也就是说，天梯是没法不断刷分的。你可能偶尔运气好，战胜了 1850 以上的对手，但是如果你实力只有 1800，随着战 斗的进行，与 1850 分数段的战都终究会失败的场数更多，分数维持在 1800。所以为什么说积分战场最公平，因为分数可以代表选手的基本实力，而你只会与积分相近的对手进行战斗。