恰好有 k 个硬币的路径数

Question

在解决路径计数问题时，常常需要找到恰好包含 k 个特定元素的路径数。其中一个典型的场景就是给定一个矩形网格图形，从左上角出发，只能向右或向下移动，到达右下角有多少不同的路径，这个问题可以通过计数恰好包含特定元素的路径数来解决。

动态规划算法

动态规划算法可以方便地计算恰好包含 k 个特定元素的路径数。假设我们有一个由 n 行 m 列的网格组成的矩形，其中每个单元格都包含一个硬币或者空格。我们将硬币视为特定元素，并用 dp[i][j][k] ​ 表示从 (1,1) 到 (i,j) 经过恰好 k 个硬币的路径数。

首先，初始化第一行和第一列上的所有单元格为 1，因为从 (1,1) 到 (i,j) 的路径上只可能从上方或左方到达，因此它们都只有一种可能的路径。

然后，对于每个单元格 (i,j)，考虑从 dp[i-1][j] ​ 和 dp[i][j-1] 转移而来。如果单元格 (i,j) 包含硬币，则可以从这两个方向转移来，这样 k 的值就应该是 dp[i-1][j][k-1] + dp[i][j-1][k-1]，即在上一个单元格中恰好包含 k-1 个硬币的路径数之和。否则，单元格 (i,j) 不包含硬币，那么 k 的值就应该是 dp[i-1][j][k] + dp[i][j-1][k]，即在上一个单元格中包含 k 个硬币的路径数之和。

最后，我们需要统计所有到达 (n,m) 的路径数，其中恰好包含 k 个硬币的路径数就是最终答案，即 dp[n][m][k]。

下面是具体实现代码片段：

def count_paths(grid, k):
    n = len(grid)
    m = len(grid[0])
    dp = [[[0]*(k+1) for j in range(m)] for i in range(n)]
    dp[0][0][grid[0][0]] = 1
    for i in range(1, n):
        dp[i][0][grid[i][0]] = 1
    for j in range(1, m):
        dp[0][j][grid[0][j]] = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            for p in range(k+1):
                if grid[i][j]:
                    dp[i][j][p] = dp[i-1][j][p-1] + dp[i][j-1][p-1]
                else:
                    dp[i][j][p] = dp[i-1][j][p] + dp[i][j-1][p]
    return dp[n-1][m-1][k]

时间复杂度分析

动态规划算法的时间复杂度为 O(nmk)，其中 n 和 m 分别是网格的行数和列数，k 是需要计数的特定元素的个数。由于我们需要填充三维数组，因此空间复杂度为 O(nmk)。

总结

计数恰好包含 k 个特定元素的路径数是一类常见的路径计数问题，可以通过动态规划算法很好地解决。我们只需维护一个三维数组表示状态，然后按照给定的转移方程推导即可。需要注意的是，这种算法的时间复杂度比较高，如果输入的数据规模太大，可能无法实现有效的计算。