同构 - 编程中的数学 PDF 文档

Question

我讲一个从马爷爷那里听来的故事。有一年春节的时候，北京地坛公园的庙会热闹非凡、里里外外人山人海，小朋友们拿着压岁钱在各种摊位上买自己喜欢的玩具。公园外路边有一个摊位上围了一群人。地上一字排开摆了九个小玩具，每个玩具上依次贴着一元、二元、三元……直到九元的标签。摊主一边向大家吆喝，一边讲解游戏规则：大家快来玩套圈游戏！一次一元钱，你扔一个，我扔一个，一个玩具只能套一个圈。谁能先套中三个加在一起值〸五元的玩具算谁赢，你要是赢了，所有套中的玩
具都归你。

第一章 数字
1.1 数的诞生
1.2 皮亚诺自然数公理
1.3 自然数和计算机程序
1.4 自然数的结构
1.5 自然数的同构
1.6 形式与结构
第二章 递归
2.1 万物皆数
2.2 欧几里得算法
2.2.1 欧几里得和《几何原本》
2.2.2 欧几里得算法
2.2.3 扩展欧几里得算法
2.2.4 欧几里得算法的意义
2.3 演算
2.3.1 表达式化简
2.3.2 抽象
2.3.3 变换规则
2.4 递归的定义
2.4.1 Y 组合子
2.5 演算的意义
2.6 更多的递归结构
2.7 递归的形式与结构
2.8 扩展阅读
2.9 附录：倒水趣题完整程序
第三章 对称
3.1 群
3.1.1 群的定义
3.1.2 幺半群与半群
3.1.3 群的性质
3.1.4 置换群
3.1.5 群与对称
3.1.6 循环群
3.1.7 子群
3.1.8 拉格朗日定理
3.2 环与域
3.2.1 环的定义
3.2.2 除环和域
3.3 伽罗瓦理论
3.3.1 扩域
3.3.2 自同构和伽罗瓦群
3.3.3 伽罗瓦基本定理
3.3.4 可解性
3.4 扩展阅读
第四章 范畴
4.1 范畴
4.1.1 范畴的例子
4.1.2 箭头≠函数
4.2 函子
4.2.1 函子的定义
4.2.2 函子的例子
4.3 积和余积
4.3.1 积和余积的定义
4.3.2 积和余积的性质
4.3.3 积和余积作为函子
4.4 自然变换
4.4.1 自然变换的例子
4.4.2 自然同构
4.5 数据类型
4.5.1 起始对象和终止对象
4.5.2 幂
4.5.3 笛卡尔闭和对象算术
0 次幂
1 的幂
1 次幂
幂的和
幂的幂
积的幂
4.5.4 多项式函子
4.5.5 F-代数
递归和不动点
初始代数和向下态射
代数数据类型
4.6 小节
4.7 扩展阅读
4.8 附录：例子代码
第五章 融合
5.1 叠加——构建的融合
5.1.1 列表的叠加操作
5.1.2 叠加——构建融合律
5.1.3 列表的构建形式
5.1.4 使用融合律化简
5.1.5 类型限制
5.1.6 用范畴论推导融合律
5.2 巧算 100
5.2.1 穷举法
5.2.2 改进
5.3 小结和扩展阅读
5.4 附录代码
第六章 无穷
6.1 无穷概念的提出
6.1.1 无穷的哲学
6.1.2 穷竭法与微积分
6.2 潜无穷与编程
6.2.1 余代数和无穷流
6.3 实无穷的思考
6.3.1 无穷王国的花园
6.3.2 一一对应与无穷集合
康托尔与戴德金
利用（可数）无穷定义斐波那契数列和哈明数列
6.3.3 可数无穷与不可数无穷
6.3.4 戴德金分割
6.3.5 超限数和连续统假设
超限数
连续统假设
6.4 无穷与艺术
6.5 附录：例子代码
6.6 附录：康托尔定理的证明
6.7 附录：巴赫《音乐的奉献》无限上升的卡农
第七章 悖论
7.1 计算的边界
7.2 罗素悖论
7.2.1 罗素悖论的影响
7.3 数学基础的分歧
7.3.1 逻辑主义
7.3.2 直觉主义
7.3.3 形式主义
7.3.4 公理集合论
7.4 哥德尔不完全性定理
7.5 不完全性定理的证明
7.5.1 构建形式系统
公理和推理规则
印符系统的不完全性
7.5.2 哥德尔配数
7.5.3 构造自我指涉
7.6 万能的程序与对角线证明
7.7 尾声
参考答案
.1 前言
.2 数字
.3 递归
.4 对称
.5 范畴
.6 融合
.7 无穷
.8 悖论
加法交换律的证明
积和余积的唯一性
集合的笛卡尔积和不相交并集构成积和余积的证明
参考文献
GNU Free Documentation License
1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS
2. VERBATIM COPYING
3. COPYING IN QUANTITY
4. MODIFICATIONS
5. COMBINING DOCUMENTS
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS
7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS
8. TRANSLATION
9. TERMINATION
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE
11. RELICENSING
ADDENDUM: How to use this License for your documents

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