普林斯顿微积分读本 修订版 PDF 文档

Question

本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。

本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师，既可作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。

对于大多数学生来说， 微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且最受挫折的一门课程了。 而本书， 不仅让学生能有效地学习微积分， 更重要的是提供了战胜微积
分的必备工具。

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳的微积分复习课程。 他激励了一些考试前想获得优秀但考试结果却平平的学生。
对于任何单变量微积分的课程， 本书既可以作为教科书， 也可以用作学习指南，对于全英文授课的教师来说更是一个得力助手。 作者班纳是美国普林斯顿大学的著名数学教授并担任新技术研究中心主任。 班纳教授的授课风格是非正式、有吸引力并完全不强求的， 甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性， 而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。

目录
第 1 章 函数、图像和直线
1.1 函数
1.1.1 区间表示法
1.1.2 求定义域
1.1.3 利用图像求值域
1.1.4 垂线检验
1.2 反函数
1.2.1 水平线检验
1.2.2 求反函数
1.2.3 限制定义域
1.2.4 反函数的反函数
1.3 函数的复合
1.4 奇函数和偶函数
1.5 线性函数的图像
1.6 常见函数及其图像
第 2 章 三角学回顾
2.1 基本知识
2.2 扩展三角函数定义域
2.2.1 ASTC 方法
2.2.2 [0,2π] 以外的三角函数
2.3 三角函数的图像
2.4 三角恒等式
第 3 章 极限导论
3.1 极限：基本思想
3.2 左极限与右极限
3.3 何时不存在极限
3.4 在∞和−∞处的极限
大的数和小的数
3.5 关于渐近线的两个常见误解
3.6 三明治定理
3.7 极限的基本类型小结
第 4 章 求解多项式的极限问题
4.1 x→a 时的有理函数的极限
4.2 x→a 时的平方根的极限
4.3 x→∞时的有理函数的极限
方法和例子
4.4 x→∞时的多项式型函数的极限
4.5 x→−∞时的有理函数的极限
4.6 包含绝对值的函数的极限
第 5 章 连续性和可导性
5.1 连续性
5.1.1 在一点处连续
5.1.2 在一个区间上连续
5.1.3 连续函数的一些例子
5.1.4 介值定理
5.1.5 一个更难的介值定理例子
5.1.6 连续函数的最大值和最小值
5.2 可导性
5.2.1 平均速率
5.2.2 位移和速度
5.2.3 瞬时速度
5.2.4 速度的图像阐释
5.2.5 切线
5.2.6 导函数
5.2.7 作为极限比的导数
5.2.8 线性函数的导数
5.2.9 二阶导数和更高阶导数
5.2.10 何时导数不存在
5.2.11 可导性和连续性
第 6 章 求解微分问题
6.1 使用定义求导
6.2 用更好的办法求导
6.2.1 函数的常数倍
6.2.2 函数和与函数差
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
6.2.4 通过商法则求商函数的导数
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数
6.2.6 那个难以处理的例子
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由
6.3 求切线方程
6.4 速度和加速度
负常数加速度
6.5 导数伪装的极限
6.6 分段函数的导数
6.7 直接画出导函数的图像
第 7 章 三角函数的极限和导数
7.1 三角函数的极限
7.1.1 小数的情况
7.1.2 问题的求解|| 小数的情况
7.1.3 大数的情况
7.1.4 “其他的”情况
7.1.5 一个重要极限的证明
7.2 三角函数的导数
7.2.1 求三角函数导数的例子
7.2.2 简谐运动
7.2.3 一个有趣的函数
第 8 章 隐函数求导和相关变化率
8.1 隐函数求导
8.1.1 技巧和例子
8.1.2 隐函数求二阶导
8.2 相关变化率
8.2.1 一个简单的例子
8.2.2 一个稍难的例子
8.2.3 一个更难的例子
8.2.4 一个非常难的例子
第 9 章 指数函数和对数函数
9.1 基础知识
9.1.1 指数函数的回顾
9.1.2 对数函数的回顾
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数
9.1.4 对数法则
9.2 e 的定义
9.2.1 一个有关复利的问题
9.2.2 问题的答案
9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容
9.3 对数函数和指数函数求导
指数函数和对数函数求导的例子
9.4 求解指数函数或对数函数的极限
9.4.1 涉及 e 的定义的极限
9.4.2 指数函数在 0 附近的行为
9.4.3 对数函数在 1 附近的行为
9.4.4 指数函数在∞或−∞附近的行为
9.4.5 对数函数在∞附近的行为
9.4.6 对数函数在 0 附近的行为
9.5 取对数求导法
x^a 的导数
9.6 指数增长和指数衰变
9.6.1 指数增长
9.6.2 指数衰变
9.7 双曲函数
第 10 章 反函数和反三角函数
10.1 导数和反函数
10.1.1 使用导数证明反函数存在
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题
10.1.3 求反函数的导数
10.1.4 一个综合性例子
10.2 反三角函数
10.2.1 反正弦函数
10.2.2 反余弦函数
10.2.3 反正切函数
10.2.4 反正割函数
10.2.5 反余割函数和反余切函数
10.2.6 计算反三角函数
10.3 反双曲函数
其他的反双曲函数
第 11 章 导数和图像
11.1 函数的极值
11.1.1 全局极值和局部极值
11.1.2 极值定理
11.1.3 求全局最大值和最小值
11.2 罗尔定理
11.3 中值定理
中值定理的几个推论
11.4 二阶导数和图像
关于拐点的更多说明
11.5 对导数为零点的分类
11.5.1 使用一阶导数
11.5.2 使用二阶导数
第 12 章 绘制函数图像
12.1 建立符号表格
12.1.1 建立一阶导数的符号表格
12.1.2 建立二阶导数的符号表格
12.2 绘制函数图像的全面方法
12.3 例题
12.3.1 一个不使用导数的例子
12.3.2 完整的方法：例一
12.3.3 完整的方法：例二
12.3.4 完整的方法：例三
12.3.5 完整的方法：例四
第 13 章 最优化和线性化
13.1 最优化
13.1.1 一个简单的最优化例子
13.1.2 最优化问题：一般方法
13.1.3 一个最优化的例子
13.1.4 另一个最优化的例子
13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导
13.1.6 一个较难的最优化例子
13.2 线性化
13.2.1 线性化问题：一般方法
13.2.2 微分
13.2.3 线性化的总结和例子
13.2.4 近似中的误差
13.3 牛顿法
第 14 章 洛必达法则及极限问题总结
14.1 洛必达法则
14.1.1 类型 A：0/0
14.1.2 类型 A：±∞=±∞
14.1.3 类型 B1: (∞−∞)
14.1.4 类型 B2: (0×±∞)
14.1.5 类型 C:(1^±∞,0^0 或∞^0)
14.1.6 洛必达法则类型的总结
14.2 关于极限的总结
第 15 章 积分
15.1 求和符号
15.1.1 一个有用的求和
15.1.2 伸缩求和法
15.2 位移和面积
15.2.1 三个简单的例子
15.2.2 一段更常规的旅行
15.2.3 有向面积
15.2.4 连续的速度
15.2.5 两个特别的估算
第 16 章 定积分
16.1 基本思想
一些简单的例子
16.2 定积分的定义
一个使用定义的例子
16.3 定积分的性质
16.4 求面积
16.4.1 求通常的面积
16.4.2 求解两条曲线之间的面积
16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积
16.5 估算积分
一个简单的估算
16.6 积分的平均值和中值定理
积分的中值定理
16.7 不可积的函数
第 17 章 微积分基本定理
17.1 用其他函数的积分来表示的函数
17.2 微积分的第一基本定理
反导数的引入
17.3 微积分的第二基本定理
17.4 不定积分
17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理
17.5.1 变形 1：变量是积分下限
17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数
17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数
17.5.4 变形 4：导数伪装成极限
17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理
17.6.1 计算不定积分
17.6.2 计算定积分
17.6.3 面积和绝对值
17.7 技术要点
17.8 微积分第一基本定理的证明
第 18 章 积分的方法 I
18.1 换元法
18.1.1 换元法和定积分
18.1.2 如何换元
18.1.3 换元法的理论解释
18.2 分部积分法
一些变形
18.3 部分分式
18.3.1 部分分式的代数运算
18.3.2 对每一部分积分
18.3.3 方法和一个完整的例子
第 19 章 积分的方法 II
19.1 应用三角恒等式的积分
19.2 关于三角函数的幂的积分
19.2.1 sin 或 cos 的幂
19.2.2 tan 的幂
19.2.3 sec 的幂
19.2.4 cot 的幂
19.2.5 csc 的幂
19.2.6 约化公式
19.3 关于三角换元法的积分
19.3.1 类型 1：√a^2 − x^2
19.3.2 类型 2：√x^2 + a^2
19.3.3 类型 3：√x^2 − a^2
19.3.4 配方和三角换元法
19.3.5 关于三角换元法的总结
19.3.6 平方根的方法和三角换元法
19.4 积分技巧总结
第 20 章 反常积分：基本概念
20.1 收敛和发散
20.1.1 反常积分的一些例子
20.1.2 其他破裂点
20.2 关于无穷区间上的积分
20.3 比较判别法（理论)
20.4 极限比较判别法（理论)
20.4.1 函数互为渐近线
20.4.2 关于判别法的陈述
20.5 p 判别法（理论)
20.6 绝对收敛判别法
第 21 章 反常积分：如何解题
21.1 如何开始
21.1.1 拆分积分
21.1.2 如何处理负函数值
21.2 积分判别法总结
21.3 常见函数在∞和−∞附近的表现
21.3.1 多项式和多项式型函数在∞和−∞附近的表现
21.3.2 三角函数在∞和−∞附近的表现
21.3.3 指数在∞和−∞附近的表现
21.3.4 对数在∞附近的表现
21.4 常见函数在 0 附近的表现
21.4.1 多项式和多项式型函数在 0 附近的表现
21.4.2 三角函数在 0 附近的表现
21.4.3 指数函数在 0 附近的表现
21.4.4 对数函数在 0 附近的表现
21.4.5 更一般的函数在 0 附近的表现
21.5 如何应对不在 0 或∞处的瑕点
第 22 章 数列和级数：基本概念
22.1 数列的收敛和发散
22.1.1 数列和函数的联系
22.1.2 两个重要数列
22.2 级数的收敛与发散
几何级数（理论)
22.3 第 n 项判别法（理论)
22.4 无穷级数和反常积分的性质
22.4.1 比较判别法（理论)
22.4.2 极限比较判别法（理论)
22.4.3 p 判别法（理论)
22.4.4 绝对收敛判别法
22.5 级数的新判别法
22.5.1 比式判别法（理论)
22.5.2 根式判别法（理论)
22.5.3 积分判别法（理论)
22.5.4 交错级数判别法（理论)
第 23 章 求解级数问题
23.1 求几何级数的值
23.2 应用第 n 项判别法
23.3 应用比式判别法
23.4 应用根式判别法
23.5 应用积分判别法
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法
23.7 应对含负项的级数
第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
24.1 近似值和泰勒多项式
24.1.1 重访线性化
24.1.2 二次近似
24.1.3 高阶近似
24.1.4 泰勒定理
24.2 幂级数和泰勒级数
24.2.1 一般幂级数
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数
24.2.3 泰勒级数的收敛性
24.3 一个有用的极限
第 25 章 求解估算问题
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数
25.3 用误差项估算问题
25.3.1 第一个例子
25.3.2 第二个例子
25.3.3 第三个例子
25.3.4 第四个例子
25.3.5 第五个例子
25.3.6 误差项估算的一般方法
25.4 误差估算的另一种方法
第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题
26.1 幂级数的收敛性
26.1.1 收敛半径
26.1.2 求收敛半径和收敛区域
26.2 合成新的泰勒级数
26.2.1 代换和泰勒级数
26.2.2 泰勒级数求导
26.2.3 泰勒级数求积分
26.2.4 泰勒级数相加和相减
26.2.5 泰勒级数相乘
26.2.6 泰勒级数相除
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导
26.4 利用麦克劳林级数求极限
第 27 章 参数方程和极坐标
27.1 参数方程
参数方程的导数
27.2 极坐标
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换
27.2.2 极坐标系中画曲线
27.2.3 求极坐标曲线的切线
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积
第 28 章 复数
28.1 基础
复指数函数
28.2 复平面
笛卡儿形式和极坐标形式互换
28.3 复数的高次幂
28.4 解 z^n = w
一些变式
28.5 解 e^z = w
28.6 一些三角级数
28.7 欧拉恒等式和幂级数
第 29 章 体积、弧长和表面积
29.1 旋转体的体积
29.1.1 圆盘法
29.1.2 壳法
29.1.3 总结和变式
29.1.4 变式 1：区域在曲线和 y 轴之间
29.1.5 变式 2：两曲线间的区域
29.1.6 变式 3：绕平行于坐标轴的轴旋转
29.2 一般立体体积
29.3 弧长
参数化和速率
29.4 旋转体的表面积
第 30 章 微分方程
30.1 微分方程导论
30.2 可分离变量的一阶微分方程
30.3 一阶线性方程
为什么积分因子起作用
30.4 常系数微分方程
30.4.1 解一阶齐次方程
30.4.2 解二阶齐次方程
30.4.3 为什么特征二次方程适用
30.4.4 非齐次方程和特解
30.4.5 求特解
30.4.6 求特解的例子
30.4.7 解决 yP 和 yH 间的冲突
30.4.8 IVP
30.5 微分方程建模
附录 A 极限及其证明
A.1 极限的正式定义
A.1.1 小游戏
A.1.2 真正的定义
A.1.3 应用定义的例子
A.2 由原极限产生新极限
A.2.1 极限的和与差及证明
A.2.2 极限的乘积及证明
A.2.3 极限的商及证明
A.2.4 三明治定理及证明
A.3 极限的其他情形
A.3.1 无穷极限
A.3.2 左极限与右极限
A.3.3 在∞及−∞处的极限
A.3.4 两个涉及三角函数的例子
A.4 连续与极限
A.4.1 连续函数的复合
A.4.2 介值定理的证明
A.4.3 最大--最小定理的证明
A.5 再谈指数函数和对数函数
A.6 微分与极限
A.6.1 函数的常数倍
A.6.2 函数的和与差
A.6.3 乘积法则的证明
A.6.4 商法则的证明
A.6.5 链式求导法则的证明
A.6.6 极值定理的证明
A.6.7 罗尔定理的证明
A.6.8 中值定理的证明
A.6.9 线性化的误差
A.6.10 分段函数的导数
A.6.11 洛必达法则的证明
A.7 泰勒近似定理的证明
附录 B 估算积分
B.1 使用条纹估算积分
均匀划分
B.2 梯形法则
B.3 辛普森法则
辛普森法则的证明
B.4 近似的误差
B.4.1 估算误差的例子
B.4.2 误差项不等式的证明
符号列表

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