在sympy中求解这个方程式

Question

我正在使用sympy玩旋转矩阵和类似概念。我正在尝试从以下矩阵中提取alpha，beta，gamma：

⎡       α - γ⋅sin(θ)        ⎤
⎢                           ⎥
⎢β⋅cos(φ) + γ⋅sin(φ)⋅cos(θ) ⎥
⎢                           ⎥
⎣-β⋅sin(φ) + γ⋅cos(φ)⋅cos(θ)⎦

这样我就可以获得此矩阵

⎡1     0        -sin(θ)   ⎤
⎢                         ⎥
⎢0  cos(φ)   sin(φ)⋅cos(θ)⎥
⎢                         ⎥
⎣0  -sin(φ)  cos(φ)⋅cos(θ)⎦

基本上求解方程f（x）= ax，但对于矩阵而不是x。其中f（x）是第一个矩阵，第二个矩阵和x是alpha，beta，伽马向量。 我天真地用sympy.solve进行了测试，但它输出矩阵A和X不对准。从我通常看到的是因为矩阵的尺寸不正确，但在我的情况下，我认为这是因为使用solve不是正确的方法。

我该如何解决这个问题？

Answer 1

您可以使用sympy的linear_eq_to_matrix函数：

In [6]: a, b, g = symbols("α β γ", positive=True)
   ...: t, p    = symbols("θ φ",   positive=True, nonzero=True)

In [7]: bres = Matrix([[a - g*sin(t)],
   ...:                [b*cos(p) + g*sin(p)*cos(t)],
   ...:                [-b*sin(p) + g*cos(p)*cos(t)]])

In [8]: bres
Out[8]: 
⎡       α - γ⋅sin(θ)        ⎤
⎢                           ⎥
⎢β⋅cos(φ) + γ⋅sin(φ)⋅cos(θ) ⎥
⎢                           ⎥
⎣-β⋅sin(φ) + γ⋅cos(θ)⋅cos(φ)⎦

In [9]: linear_eq_to_matrix(bres, [a,b,g])
Out[9]: 
⎛⎡1     0        -sin(θ)   ⎤  ⎡0⎤⎞
⎜⎢                         ⎥  ⎢ ⎥⎟
⎜⎢0  cos(φ)   sin(φ)⋅cos(θ)⎥, ⎢0⎥⎟
⎜⎢                         ⎥  ⎢ ⎥⎟
⎝⎣0  -sin(φ)  cos(θ)⋅cos(φ)⎦  ⎣0⎦⎠

https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solveset.html#linelear-eq-to-matrix

Answer 2

这是我最接近的。如您所知f（x）（在下面称为bres）和x，您正在寻找a矩阵是9个变量（a11，a12等）。乘以X乘以您的3个方程式具有自变量。我们知道ax -b = 0，但是要找到每个系数，您需要添加约束。例如，要查找a11，您需要求解a11的第一个方程添加β和γ的约束是0（subs函数）。
请参阅我对您的答案的评论，因为这可能不是解决该问题的最佳方法。

from sympy import *

a, b, g = symbols("α β γ", positive=True)
t, p    = symbols("θ φ",   positive=True, nonzero=True)

x = Matrix([[a],
            [b],
            [g]])

bres = Matrix([[a - g*sin(t)],
               [b*cos(p) + g*sin(p)*cos(t)],
               [-b*sin(p) + g*cos(p)*cos(t)]])

a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 = symbols("a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33", real=True)
A = Matrix([[a11, a12, a13],
            [a21, a22, a23],
            [a31, a32, a33]])

v = A*x-bres

Ares = Matrix([[solve(v[0].subs(b, 0).subs(g, 0), a11), solve(v[0].subs(a, 0).subs(g, 0), a12), solve(v[0].subs(a, 0).subs(b, 0), a13)]
              ,[solve(v[1].subs(b, 0).subs(g, 0), a21), solve(v[1].subs(a, 0).subs(g, 0), a22), solve(v[1].subs(a, 0).subs(b, 0), a23)]
              ,[solve(v[2].subs(b, 0).subs(g, 0), a31), solve(v[2].subs(a, 0).subs(g, 0), a32), solve(v[2].subs(a, 0).subs(b, 0), a33)]])

print(Ares)

结果：

Matrix([[[1], [0],       [-sin(θ)]],
        [[0], [cos(φ)],  [sin(φ)*cos(θ)]],
        [[0], [-sin(φ)], [cos(θ)*cos(φ)]]])