使用高斯的数值双积分

Question

我正在尝试通过python中的高斯 - legendre正交数字法解决双重积分，而无需使用任何具有数字方法的库。但是，当我具有集成限制时，我无法使算法起作用。这是我尝试的：

def integrate(a: float, b: float, n: int, f_xy: callable, upper_func: callable, lower_func: callable) -> float:

    if n < 1:
        raise("n < 1 is invalid.")

    w, t = get_wt(n)

    e1_x = (b-a)/2
    e2_x = (a+b)/2
    sum = 0

    for i in range(n):

        x_i = e1_x*t[i]+e2_x

        if type(upper_func) == int:
            d = upper_func
        else:
            d = upper_func(x_i)

        if type(lower_func) == int:
            c = lower_func
        else:
            c = lower_func(x_i)

        e1_y = (d - c)/2
        e2_y = (c + d)/2

        som = 0
        for j in range(n):
            y_i = e1_y*t[j]+e2_y
            som += w[j]*f_xy(x_i, y_i)

        sum += w[i]*som

    result = (1/4)*(b-a)*(d-c)*sum

    return result

get_wt（）函数返回权重和节点。

---

[编辑]

我设法做到了。它只需要几个调整。

def double_integrate(a: float, b: float, n: int, f_xy: Union[Callable, float],
                     up_func: Union[Callable, float], low_func: Union[Callable, float]) -> float:
     
    w, t = get_wt(n)

    e1_x = (b-a)/2
    e2_x = (a+b)/2

    sum = 0

    for i in range(n):

        som = 0

        x_i = e1_x*t[i]+e2_x

        if not isfunction(up_func):
            d = up_func
        else:
            d = up_func(x_i)

        if not isfunction(low_func):
            c = low_func
        else:
            c = low_func(x_i)

        e1_y = (d - c)/2
        e2_y = (c + d)/2

        for j in range(n):
            y_i = e1_y*t[j]+e2_y

            if isfunction(f_xy):
                som += w[j]*f_xy(x_i, y_i)
            else:
                som += w[j]*f_xy

        sum += w[i]*e1_y*som

    result = e1_x*sum

    return result

Answer 1

在您的算法中，该行

result = (1/4)*(b-a)*(d-c)*sum

不正确。它应与返回语句对齐;）。另外，您使用的公式有一个概念上的错误。考虑到您的算法有效，它只能在矩形上求解双重积分，这意味着变量c和d是常数。但是，如果要在更复杂的区域进行集成，则变量c和d是函数，（C + D）/2应该集成在外部积分中。
如果您想尝试实现它，我建议您更改此积分这个双重积分正方形[-1,1] x [-1,1]。这样做可能会使您了解如何实现此算法。