为什么当我尝试将对称矩阵对角线化时，为什么不是t`np.linalg.eig返回统一矩阵？

Question

使用Python，我创建了一个对称矩阵x，并使用代码lambda，u = np.linalg.eig（x）对对角线化。我的理解是：由于x是对称的，u应该是统一的，但我发现事实并非如此，因为u具有eigenvalues这没有绝对值1，这也意味着这也不是缩放问题。我的问题是为什么u不统一？

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这是一个最小可重现的示例，可以查看我得到的内容：

import numpy as np

#Symmetric matrix, which should be diagonalized by unitary
X = np.array([[-1.1918157 ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.09852097,
         0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , -1.1918157 ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
         0.09852097,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        , -1.08529969,  0.        ,  0.        ,
         0.        ,  0.07826825,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        , -1.08529969,  0.        ,
         0.        ,  0.        ,  0.07826825],
       [ 0.09852097,  0.        ,  0.        ,  0.        , -1.00585682,
         0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.09852097,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
        -1.00585682,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.07826825,  0.        ,  0.        ,
         0.        , -0.98276093,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.07826825,  0.        ,
         0.        ,  0.        , -0.98276093]])

#check if X is symmetric
assert np.linalg.norm(X - X.conj().T) == 0

#diagonalize X
Lambda, U = np.linalg.eig(X)

#check if U is unitary
print(
    np.allclose(U @ U.conj().T, np.identity(U.shape[0])),
    np.allclose(U.conj().T,     np.linalg.inv(U))
)

#Since the above returns false, how non-unitary is it?
print(
    np.linalg.norm(U @ U.conj().T - np.identity(U.shape[0])),
    np.linalg.norm(U.conj().T - np.linalg.inv(U))
)

上述代码的输出是：

False False
0.994793051566498 1.1641788210519939

Answer 1

永远无法保证返回统一矩阵。

#diagonalize X
Lambda, U = np.linalg.eig(X)

从这一行代码中，您可以找到x的特征值（存储在lambda中）及其右eigenVectors （存储在矩阵中u中）。参见 doc 。

这里唯一的统一事物是特征向量，它是u的列。

In [4]: np.linalg.norm(U, axis=0)
Out[4]: array([1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.])

阅读有关特征值和特征向量的更多信息： wolfram