haskell中的单子变压器是独特的吗？

Question

有几个问题（例如io“> this 和 this ）询问Haskell（IO除外）中的每个单子是否都有相应的单子变压器。现在我想问一个补充问题。每个单子都完全有一个变压器（或在IO中没有一个变压器），还是可以有一个以上的变压器？

反例将是两个单子变压器，当应用于Monad的身份时，将产生相同行为的单调，但是当应用于其他单调时会产生不同的行为单调。如果答案是单子可以拥有多个变压器，我想拥有一个尽可能简单的haskell示例。这些实际上不必是有用的变压器（尽管这很有趣）。

链接的问题中的一些答案似乎表明单子可能有多个变压器。但是，除了类别的基本定义之外，我不知道太多的类别理论，因此我不确定它们是否是这个问题的答案。

Answer 1

这是一个反例的想法。我们知道，通常，Monad不会构成...但是我们也知道，如果有适当的交换>交换操作，您可以撰写它们[1]！让我们为可以与自己交换的单子上课。

-- | laws (from [1]):
-- swap . fmap (fmap f) = fmap (fmap f) . swap
-- swap . pure = fmap pure
-- swap . fmap pure = pure
-- fmap join . swap . fmap (join . fmap swap) = join . fmap swap . fmap join . swap
class Monad m => Swap m where
    swap :: m (m a) -> m (m a)

instance Swap Identity where swap = id
instance Swap Maybe where
    swap Nothing = Just Nothing
    swap (Just Nothing) = Nothing
    swap (Just (Just x)) = Just (Just x)

然后，我们可以构建一个与自身组成单元的单子变压器，这样：

newtype Twice m a = Twice (m (m a))

希望应该很明显pure and （＆lt; $＆gt;） do。我不会定义（＆gt;＆gt; =），我将定义JOIN，因为我认为这有点明显。 （＆gt;＆gt; =）可以从中得出。

instance Swap m => Monad (Twice m) where
    join = id
        . Twice                        -- rewrap newtype
        . fmap join . join . fmap swap -- from [1]
        . runTwice . fmap runTwice     -- unwrap newtype

instance MonadTrans Twice where lift = Twice . pure

我尚未检查lift遵守monadtrans所有swap> swap实例的法律，但是我确实检查了它们是否Identity和也许。

现在，我们已经

IdentityT Identity ~= Identity ~= Twice Identity
IdentityT Maybe    ~= Maybe   !~= Twice Maybe

表明Identityt不是生产Identity的唯一单调变压器。

[1]由马克·琼斯（Mark P.

Answer 2

身份单元至少具有两个单元变压器：身份单元变压器和 codsente monad变压器。

newtype IdentityT m a = IdentityT (m a)
newtype Codensity m a = Codensity (forall r. (a -> m r) -> m r)

实际上，考虑codsential Identity，forall r。 （a - ＆gt; r） - ＆gt; r是a的同构。

这些单子变压器完全不同。一个示例是，“括号”可以定义为codsenty的单声道操作：

bracket :: Monad m => m () -> m () -> Codensity m ()
bracket before after = Codensity (\k -> before *> k () *> after)

而将该签名转换为Identityt并没有说明

bracket :: Monad m => m () -> m () -> IdentityT m ()  -- cannot implement the same functionality

---

其他示例，从而可以从尽管我还没有看到一般方案，但延续/codsenty monad的变体。

状态单元对应于状态单元变压器，以及codsente和readert的组成：

newtype StateT s m a = StateT (s -> m (s, a))
newtype CStateT s m a = CStateT (Codensity (ReaderT s m) a)

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列表monad至少对应三个单核变压器，而不是包括错误的一个

newtype ListT m a = ListT (m (Maybe (a, ListT m a)))  -- list-t
newtype LogicT m a = LogicT (forall r. (a -> m r -> m r) -> m r -> m r)  -- logict
newtype MContT m a = MContT (forall r. Monoid r => (a -> m r) -> m r))

：可以在包装中分别找到前两个（也以管道），
and

Answer 3

一个单子有两个不等变压器的单个例子：“选择”单元。

 type Sel r a = (a -> r) -> a

单子不是众所周知，但有些论文提到了。这是一个涉及一些论文的软件包：

https://hackage.haskell.org/package/transformers-0.6.0.4/docs/control-monad-monad-trans-select.html

该软件包实现了一个变压器：

type SelT r m a = (a -> m r) -> m a

但是存在第二个变形金刚：证明法律：

type Sel2T r m a = (m a -> r ) -> m a

证明法律法律 ：因为这个变压器更加困难，但我做到了。

第二个变压器的一个优点是它在m中是协变量的，因此可以定义HOIST函数：

 hoist :: (m a -> n a) -> Sel2T r m a -> Sel2T r n a

第二个变压器是“完全特色”，具有所有提升和“提升”。第一个变压器尚未完全出现。例如，您无法定义blift :: Sel ra-＆gt; SELT RM A。换句话说，您不能将sel的单声道计算嵌入selt中，就像您无法使用Continuation Monad和Codmenta Monad这样做。

但是，使用SEL2T变压器，所有升力都存在，您可以将sel计算嵌入到sel2t中。

此示例显示了一个带有两个变压器的单子，而无需以任何方式使用码头密度构造。