随着时间的数值使用numpy，非连续的eingeNVector

Question

我正在以数值和象征性的方式解决时间依赖的特征值问题，但它们没有提供相同的解决方案。特征向量的时间依赖性不同。

import sympy as sp
import numpy as np
from sympy.physics.matrices import msigma
from sympy.physics.quantum import TensorProduct as ts
from sympy.physics.quantum.dagger import Dagger
import matplotlib.pyplot as plt

首先使用数值解决方案：

#---- writing the matriz----------------
σx = np.matrix([[0,1],[1,0]])
σy = np.matrix([[0,-1j],[1j,0]])
σz = np.matrix([[1,0],[0,-1]])
I = np.eye(2)


Hi = np.kron(np.kron(σx,σx),I) + np.kron(np.kron(σy,σy),I)
Hm = np.kron(I, np.kron(σx,σx)) + np.kron(I,np.kron(σy,σy))
Hf = np.kron(σz, np.kron(I,σz)) + np.kron(I,np.kron(σz,σz))



s = np.linspace(0.00001,.9999,1000)
ω = s.shape[0]
e_dic = {f"e{i}": [] for i in range(8)}
ev_dic = {f"ev{i}": [] for i in range(8)}
for t in s:
    Had = (1-t)*Hi + t*(1-t)*Hm + t*Hf
    vals,vecs = np.linalg.eigh(Had)
    for e,v in zip(e_dic,vals):
        e_dic[e].append(np.real_if_close(v,tol=10))
    for ev, i in zip(ev_dic, range(8)):
        w = np.real_if_close(vecs[:,i],tol=10)
        ev_dic[ev].append(w)

作为 np.linalg.eigh 的输出，eigenValues及时连续：

for i in e_dic:
    y = e_dic[i]
    plt.plot(s,y,'-',lw=1,label=i)
plt.show()

但是eigenvector并不连续（and）使用 np.linalg.eig 或 scipy.linalg.eig 结果甚至最差）：

for e in ev_dic:
    a = ev_dic[e]
    for i in range(8):
        y = []
        for j in range(len(a)):
            y.append(float(a[j][i]))
        plt.plot(s,np.real(y),'-',lw=1)
plt.show()

使用Synspy解决问题，我可以看到我可以看到特征向量是连续的

I, x, y, z = sp.eye(2), msigma(1), msigma(2), msigma(3)

t = sp.symbols(r't', real=True, positive=True)
f = sp.Function('f')(t)
g = sp.Function('g')(t)

f = t
g = t

Hi = (ts(x,x,I)+ts(y,y,I))
Hm = (ts(I,x,x)+ts(I,y,y))
Hf = (ts(z,I,z) + ts(I,z,z))

Had = (1-f)*Hi + f*(1-f)*Hm + g*Hf

e_mult_ev = Had.eigenvects()

e = []
ev = []
for i in range(len(e_mult_ev)):
    val, mult, [v_i, v_j] = e_mult_ev[i]
    e.append(val)
    e.append(val)
    ev.append(v_i)
    ev.append(v_j)

evN = [vec/sp.sqrt((Dagger(vec)*vec)[0]) for vec in ev] 

这就是我绘制Sympy特征向量的方式：

for i in zip(evN):
    for j in range(8):
        a = i[0][j]
        x = a.evalf()
        if x != 0:
            if x == 1:
                x_vals = np.linspace(0.01, .999, 1000, dtype=complex)
                y_vals = [ 1 for x in x_vals]
                plt.plot(np.real(x_vals),np.real(y_vals),lw=2)
            else:
                lam_x = sp.lambdify(t, x, modules=['mpmath'])

                x_vals = np.linspace(0.01, .999, 1000, dtype=complex)

                y_vals = []
                for _x in x_vals:
                    y_vals.append(complex(lam_x(_x)))
                plt.plot(np.real(x_vals),np.real(y_vals),lw=2)
plt.show()

由于某些原因，特征向量分量正在混合，我不确定如何正确解决此问题

Answer 1

您可以从sympy看到每个特征值都具有多重性：

In [56]: Had.shape
Out[56]: (8, 8)

In [57]: len(Had.eigenvals())
Out[57]: 4

In [58]: Had.charpoly().as_expr().factor()
Out[58]: 
                                                                                         2
          2 ⎛   3      2          4        3        2                    3       2      ⎞ 
(-λ + 2⋅t) ⋅⎝- λ  - 2⋅λ ⋅t + 4⋅λ⋅t  - 8⋅λ⋅t  + 8⋅λ⋅t  - 8⋅λ⋅t + 4⋅λ + 8⋅t  - 16⋅t  + 8⋅t⎠ 

这意味着对于每个特征值，都有可能的特征向量的2D空间。 np.linalg.eigh（hast）函数必须以某种方式选择两个特定的向量，它们跨越了特征空间，但并未唯一确定哪个向量应该是。不连续性仅在于如何做出选择。特征空间在 t 中是连续的，但是即使归一化，此处的特征向量的概念也不是唯一的。