检查立方方程的根是否复杂？

Question

我使用 >实现。

我有方程式＃1：

x³ -2 x² -5 x + 6 = 0

它给了我3个复杂的根（{真实，虚构}）：

{-2, 7.4014868308343765E-17}
{1 , -2.9605947323337506E-16}
{3 , 2.9605947323337506E-16}

但是实际上，正确的结果应为3个非复杂根：-2、1、3。

在这种情况下，我可以通过：将3个复杂的根应用于方程式，它返回非零结果（失败）；在方程式上应用3个非复合根，它返回零结果（通过）。

但是在某些情况下，我同时将3个复合根和3-non-complex根应用于等式（例如47x³+7x²-52 x + 0 = 0），它返回非 - 零（失败）。

我认为导致此问题的原因是因为此代码：

/// <summary>
/// Evaluate all cubic roots of this <c>Complex</c>.
/// </summary>
public static (Complex, Complex, Complex) CubicRoots(this Complex complex)
{
    var r = Math.Pow(complex.Magnitude, 1d/3d);
    var theta = complex.Phase/3;
    const double shift = Constants.Pi2/3;
    return (Complex.FromPolarCoordinates(r, theta),
        Complex.FromPolarCoordinates(r, theta + shift),
        Complex.FromPolarCoordinates(r, theta - shift));
}

我知道在计算时浮点值可能会失去精度（〜1E-15），但问题是想象中的部分需要确定天气为零或非零是否复杂。

我无法告诉用户我的应用程序：“嘿，用户，如果您看到虚构零件足够接近0，则可以自己决定根不是一个复杂的数字”。

目前，我使用此方法检查：

const int TOLERATE = 15;
bool isRemoveImaginary = System.Math.Round(root.Imaginary, TOLERATE) == 0; //Remove imaginary if it's too close to zero

但是我不知道此方法是否合适，如果toteration = 15是不够的。还是解决此问题的正确方法？

所以我想问，有什么更好的方法可以说明根是否复杂？

Answer 1

谢谢 Mark Dickinson 。

因此，根据 wikipedia ：

delta＆gt; 0：立方体有三个不同的真实根

delta＆lt; 0：立方体有一个真实的根和两个非现实复合物
共轭根。

The delta d =（b*b -4*a*a*a）/（-27*a*a）

我的理想是：

• delta＆gt; 0：删除所有3个根的虚构数字。

• delta＆lt; 0：找到真实的根，然后删除其虚构部分，如果有的话
  （确保它是真实的）。留下其他两个根部未触及的根。现在我
  有 2个想法找到真正的根源：

理想＃1

从理论上讲，真正的根应具有虚构= 0，但由于浮点精度，假想可以从0偏离0一点（例如，想象= 1E-15而不是0）。因此，想法是：3根根部之间的1个真正的根应具有最接近0的想象的。

代码：

NumComplex[] arrRoot = { x1, x2, x3 };

if (delta > 0)
{
    for (var idxRoot = 0; idxRoot < arrRoot.Length; ++idxRoot)
        arrRoot[idxRoot] = arrRoot[idxRoot].RemoveImaginary();
}
else
{
    //The root with imaginary closest to 0 should be the real root,
    //the other two should be non-real.
    var realRootIdx = 0;
    var absClosest = double.MaxValue;
    double abs;

    for (var idxRoot = 0; idxRoot < arrRoot.Length; ++idxRoot)
    {
        abs = System.Math.Abs(arrRoot[idxRoot].GetImaginary());
        if (abs < absClosest)
        {
            absClosest = abs;
            realRootIdx = idxRoot;
        }
    }

    arrRoot[realRootIdx] = arrRoot[realRootIdx].RemoveImaginary();
}

上面的代码可能是错误的，如果有3个根（{real，sighinary}），则可能是这样的：

{7, -1E-99}
{3, 1E-15}//1E-15 caused by floating point precision, 1E-15 should be 0
{7, 1E-99}//My code will mistake this because this is closer to 0 than 1E-15.

也许是如果这种情况确实发生在现实生活中，我将提出一种更好的方法来选择真正的根源。

想法＃2

请看一下计算出的3根根：

x1 = FromPolarCoordinates(r, theta);
x2 = FromPolarCoordinates(r, theta + shift);
x3 = FromPolarCoordinates(r, theta - shift);

3根具有表格（通过测试知道这一点，而不是通过数学证明）：

x1 = { A }
x2 = { B, C }
x3 = { B, -C }

使用数学知识证明三个根中的哪一个是真实的。

试验＃1：也许根X1 = FromPolarCoordinates（R，Theta）总是真实的？ （失败）不真实，因为以下情况证明了猜测是错误的：-53x³ + 6x² + 14 x -54 = 0（感谢 mark

Dickinson喜欢：delta＆lt; 0：如果b＆lt; 0 x3是真实的，否则x1是真实的？

因此，直到我得到更好的想法，我将只使用IDEA＃1。