偏向4分的中点？

Question

我试图了解我被赋予使用的一段源代码的基础知识。它有效，这已经被证明了。我只是想很好地理解它的原因，以便我可以自己做，或者可能扩展/扩展它。

相关代码查找 3D 空间中两条斜线之间最短线的中点。 这篇论文是我最接近的找到匹配的东西，但我仍然缺少一些概念步骤（而且我的线性代数技能已经落后了几十年）

在此应用中，P1、P2、P3 和 P4 是空间中的 3D（X、Y、Z）点。我们关心的线是 P1-P2 和 P3-P4。

该系统运行的语言不包含行列式函数，因此原始程序员编写了自己的语言。 VectMagn 是一个系统函数，它仅返回 3D 点值的范数（即 SQRT(X^2 + Y^2 + Z^2)）。 Pow(i,j) 就像它看起来的那样，返回 i^j。

我最困惑的地方是 t 的大公式。根据我迄今为止的研究，我预计这两行都需要 转换为单位向量线，然后按照第一个 PDF 进行处理。但是 t 公式似乎一次性完成了所有这些工作，而我错过了中间步骤。显然，它是根据 Ps 1-4 上的各种矩阵数学创建两个 2x2 矩阵，然后将一个矩阵的行列式除以另一个矩阵。

如果我理解正确的话，t 是 PDF 中的 r1 和 r2，具体取决于点传递到 iv3DSkewLinePoint 的顺序。但我还没有找到任何论文或公式来解释这个特定算法为何/如何工作。到目前为止，我发现的所有内容都从单位向量线开始，并从那里继续前进。

! Returns the derterminant of a matrix
LOCAL FUNC num Det(num a,num b,num c,num d)
  RETURN (a*d-c*b);
ENDFUNC
       
! Returns a point on a line (P1-P2) closest to a point on a skewed line (P3-P4)
FUNC pos iv3DSkewLinePoint(pos P1,pos P2,pos P3,pos P4)
  VAR num x;
  VAR num y;
  VAR num z;
  VAR num t;

  t:=Det(DotProd(P3-P1,P2-P1),DotProd(P4-P3,P2-P1),DotProd(P3-P1,P4-P3),Pow(VectMagn(P4-P3),2))/Det(Pow(VectMagn(P2-P1),2),DotProd(P4-P3,P2-P1),DotProd(P2-P1,P4-P3),Pow(VectMagn(P4-P3),2));
  x:=P1.x+(P2.x-P1.x)*t;
  y:=P1.y+(P2.y-P1.y)*t;
  z:=P1.z+(P2.z-P1.z)*t;

  RETURN [x,y,z];
ENDFUNC

! Returns the closest point to two skewed lines in space
FUNC pos iv3DSkewLineMidpoint(pos P1,pos P2,pos P3,pos P4)
  RETURN 0.5*(iv3DSkewLinePoint(P1,P2,P3,P4)+iv3DSkewLinePoint(P3,P4,P1,P2));
ENDFUNC

Answer 1

3D 中两条斜线之间的最短线段必须垂直于两条斜线（垂直投影是最短的）。

因此，我们必须得到满足以下条件的两个点 A 和 B：

A 位于 P1..P2 线上，因此使用矢量表示法以参数形式表示：

A = P1 + u*(P2-P1)

B 位于 P3..P4 线上，因此以参数形式表示

B = P3 + v*(P4-P3)

矢量 AB 垂直到 P1P2，所以点积为零

(B-A).dot.(P2-P1) = 0

向量 AB 垂直于 P3P4，因此点积为零

(B-A).dot.(P4-P3) = 0

其他内容是向量代数计算，以找到 u 和 v 参数（代码中 iv3DSkewLinePoint 中的t）。

我认为论文中带有点积的第一个表达式比末尾带有许多向量积的表达式更容易计算 - 注意 wiki方法需要唯一的向量乘积计算。

看起来 t 的公式很长，代表纸上的 r1 公式，但它相当难以阅读。

另外：
Paul Bourke 短文（含代码）
我的代码基于 D.Eberly (geometrictools.com) 的“计算机图形几何工具”一书