具有负特征值的正半定矩阵

Question

据我所知，对于任何方实矩阵 A，使用以下生成的矩阵应该是正半定（PSD）矩阵：

Q = A @ A.T

我有这个矩阵 A，它是稀疏且不对称的。然而，无论A的属性如何，我认为矩阵Q应该是PSD。

然而，在使用 np.linalg.eigvals 时，我得到以下结果：

np.sort(np.linalg.eigvals(Q))
>>>array([-1.54781185e+01+0.j, -7.27494242e-04+0.j,  2.09363431e-04+0.j, ...,
        3.55351888e+15+0.j,  5.82221014e+17+0.j,  1.78954577e+18+0.j])

我认为复杂的特征值是由操作的数值不稳定性造成的。使用 scipy.linalg.eigh ，它利用了矩阵对称的事实，给出了

np.sort(eigh(Q, eigvals_only=True))
>>>array([-3.10854357e+01, -6.60108485e+00, -7.34059692e-01, ...,
        3.55351888e+15,  5.82221014e+17,  1.78954577e+18])

同样包含负特征值的结果。

我的目标是对矩阵 Q 执行 Cholesky 分解，但是，我不断收到此错误消息，指出矩阵 Q 不是正定的，这可以通过上面显示的负特征值再次确认。

有谁知道为什么矩阵不是PSD？谢谢。

Answer 1

当然，这是一个数值问题，但我想说 Q 可能仍然是 PSD。

请注意，最大特征值是 1.7e18，而最小特征值是 3.1e1，因此如果您采用 min(L) + max(L)，则比率约为== max(L) 将返回 true，这意味着最小值与最大值相比可以忽略不计。

我建议你在稍微移动的矩阵版本上计算 Cholesky。

例如

d = np.linalg.norm(Q) * np.finfo(Q.dtype).eps;
I = np.eye(len(Q));
np.linalg.cholesky(Q + d * I);