使用 sympy 计算索引张量乘法

Question

我想用 sympy 计算以下内容：

其中 I 是一个 3x3 单位矩阵。最终用途是将其与符号矩阵一起使用。

我有以下内容：

import sympy as sp

I = sp.eye(3)

Missing operations with sympy

使用 numpy，我可以只使用 einsum 函数并具有：

import numpy as np
I = np.eye(3)
Res = (np.einsum("ij,kl->ijkl", I, I)
+ np.einsum("ik,jl->ijkl", I, I)
+ np.einsum("il,jk->ijkl", I, I))

但是，einsum 不会接受 sympy 的对象来执行此操作。 我如何用 sympy 计算这个？

Answer 1

虽然该符号使 einsum 表达式变得方便，但它不是矩阵乘积。它更像是一个扩展的外部产品。没有乘积之和：

In [22]: I = np.eye(3)
    ...: Res = (
    ...:     np.einsum("ij,kl->ijkl", I, I)
    ...:     + np.einsum("ik,jl->ijkl", I, I)
    ...:     + np.einsum("il,jk->ijkl", I, I)
    ...: )

In [23]: Res
Out[23]: 
array([[[[3., 0., 0.],
         [0., 1., 0.],
         [0., 0., 1.]],

        [[0., 1., 0.],
         [1., 0., 0.],
         [0., 0., 0.]],

        [[0., 0., 1.],
         [0., 0., 0.],
         [1., 0., 0.]]],


       [[[0., 1., 0.],
         [1., 0., 0.],
         [0., 0., 0.]],

        [[1., 0., 0.],
         [0., 3., 0.],
         [0., 0., 1.]],

        [[0., 0., 0.],
         [0., 0., 1.],
         [0., 1., 0.]]],


       [[[0., 0., 1.],
         [0., 0., 0.],
         [1., 0., 0.]],

        [[0., 0., 0.],
         [0., 0., 1.],
         [0., 1., 0.]],

        [[1., 0., 0.],
         [0., 1., 0.],
         [0., 0., 3.]]]])

In [24]: Res.shape
Out[24]: (3, 3, 3, 3)

在numpy中，我们可以使用broadcasting来做同样的事情：

In [25]: res1 = I[:,:,None,None]*I + I[:,None,:,None]*I[None,:,None,:]+I[:,None,None,:]*I[None,:,:,Non
    ...: e]

In [26]: res1.shape
Out[26]: (3, 3, 3, 3)

In [27]: np.allclose(Res, res1)
Out[27]: True

你的sp.eye产生一个MutableDenseMatrix

https://docs.sympy.org/latest/modules/matrices/dense.html#sympy.matrices.dense.MutableDenseMatrix

请随意研究其文档。我的印象是 sympy 矩阵不能像 numpy 那样实现多维数组。