R 中函数值的总和

Question

我正在尝试计算以下内容（图像显示 f(n) = n \sum_{i=1}^{\infty} (c(i)*(1-c(i))^n))：

其中 c(i) 是

c <- function(i){1/i^3}

换句话说，f(2) 是 2*{1^(-3)(1-1^(-3))^2+2^( -3)(1-2^(-3))^2+3^(-3)(1-3^(-3))^2+4^(-3)(1-4^(-3))^2+...}。

如何在R中编写这样的f函数？

我最初的尝试是：

f <- function(n){n*sum(c*(1-c)^n)}

但这显然是错误的，

Error in 1 - c : non-numeric argument to binary operator

如果需要进一步澄清，请告诉我。谢谢。

Answer 1

显然，除非您通过分析来解决它，否则您无法获得无限和，但由于我们可以看到它是一个收敛和，因此我们可以像这样看第一个百万：

f <- function(n) { 
  C <- 1 / seq(1e6)^3
  n * sum(C * (1 - C)^n)
}

这允许：

f(1)
#> [1] 0.1847138
f(2)
#> [1] 0.3387583
f(3)
#> [1] 0.4674204

如果您担心这个不够准确，我们通过仅对前 10,000 项求和就得到了 7 位数字的相同结果，因此 100 万应该非常接近收敛值。