用唯一解求解非常大的非线性方程组（数值）

Question

我遇到过一个非常大的非线性方程组，如下所示：

• M'UM = A
• M'VM = B

，其中 M、U、V 未知 d*d 矩阵，A 和 B 是已知的 d*d 矩阵，具有以下性质：

• U 和 V 是对角矩阵
• M 的主对角线项全部为 1
• A 和 B 是对称矩阵，它们的项已知
• M' 表示M 的转置。

请注意，（非线性）方程的总数和未知变量的总数相同，即。准确地说是d(d+1)。因此，它确保该系统拥有唯一的解决方案。

我尝试使用nleqslv和等包在R中以数值方式求解该系统>BB。但他们的文档并未涵盖以矩阵形式输入未知数的情况。在最坏的情况下，我们可以手工编写所有方程，并利用上述包。不过，我正在寻找更好的方法。

任何帮助将不胜感激。即使有人建议其他可能在这方面有所帮助的编程语言或软件，那也没关系。谢谢。

Answer 1

我找到了这个问题的部分解决方案。具体来说，我找到了一种方法来找到 M'UM = A 的解，给定 A，假设 A 是对称矩阵。

具体来说，每个实数对称矩阵都可以写成以下形式

其中 Q 由 X 的特征向量的正交集构成，D 的对角线包含相应的特征值。

来源。

使用 numpy，很容易获得特征值和特征向量：

def solve(A):
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
    M = eigenvectors
    U = np.diag(eigenvalues)
    M_prime = M.T
    return M, U, M_prime

然后，我在随机对称数组上尝试了这个：

A = np.array([[0.2777055 , 0.17491669, 0.22634241],
       [0.17491669, 0.94572725, 0.4859058 ],
       [0.22634241, 0.4859058 , 0.89480942]])

M, U, M_prime = solve(A)
M @ U @ M_prime

结果：

array([[0.2777055 , 0.17491669, 0.22634241],
       [0.17491669, 0.94572725, 0.4859058 ],
       [0.22634241, 0.4859058 , 0.89480942]])

果然，当你将这三个矩阵相乘时，你会得到原始的 A。

不幸的是，我不知道如何以满足两个方程的方式解决这个问题。