R中的3参数非线性方程拟合

Question

我试图在 R 中找到一种方法，它允许一般方程 a*b^x + c 的参数 (a, b, c)，它提供对 3 个约束随机坐标/点 (p1, p2, p3) 的最佳拟合- 坐标分别为 x1/y1、x2/y2 和 x3/y3）。

这些坐标的约束是：

• x1 和 y3 都等于 0
• x3 和 y1 都是随机选择的，并且小于 1
• x2 被分配一个小于 x3 的随机值
• y2 被分配一个小于 y1 的随机值

我想找到一种能够生成 a、b 和 c 值的方法，生成一条接近 p1、p2 和 p3 的线。这只是使用 desmos（参见此处的示例 - https://www.desmos.com/calculator/ 4lmgazmrko），但我一直无法在 R 中找到解决方案。我尝试了以下方法：

x <- c(0, 0.7, 0.9)
y <- c(0.9, 0.8, 0)
df_test <- as.data.frame(cbind(x, y))

predict_y_nonlinearly <- function(beta, x){
  beta[1]*(beta[2]^x) + beta[3]
}

a_nonlinearmodel <- function(beta, x, y){
  y_hat <- predict_y_nonlinearly(beta, x)
  sum((y-y_hat)^2)
}

beta <- optim(rnorm(3), a_nonlinearmodel, method = "SANN",
              y = df_test$y, x = df_test$x)$par

predict_y_nonlinearly(beta, df_test$x)

但是优化函数似乎陷入局部最小值，并且很少产生正确的解决方案（即使当不同的使用“方法”设置）。我知道 nls 函数，但这需要选择起始值 - 我更喜欢一种在此阶段不需要手动输入的方法（因为 desmos 方法能够实现）。

谢谢

Answer 1

给定两个零约束，我们可以通过分析将其简化为单参数问题：

x1 = 0 → y1 = a + c → c = y1-a
y3 = 0 → 0 = a*b^x3 + (y1-a)
→ a*(b^x3 - 1) = -y1
→ a = y1/(1-b^x3)

因此，我们有一个预测 y 的单参数函数，其中包含 x1 = y3 = 0 > 约束：

predfun <- function(b = 1, x, y)  {
  a <- y[1]/(1-b^x[3])
  c <- y[1] - a
  a*b^x +c
}

平方和目标函数：

target <- Vectorize(function(b) sum((y - predfun(b, x, y))^2))

可视化：

curve(target, from = -10000, to = 100000, log = "y")

现在使用 optimize() 对于一维优化（我们仍然需要指定一个起始间隔，尽管不是特定的起始点）。

optimize(target, c(-10000, 1000000))

结果：

$minimum
[1] 58928.93

$objective
[1] 2.066598e-20