寻找递归关系

Question

在我的课堂上，我们讨论了遵循斐波那契数列的兔子生活模型。兔子从一对婴儿开始，经过一年多的时间才成熟。成熟的兔子会生出一对新的小兔子。这导致兔子的总对数等于斐波那契数列。

我也在查看这个网站，它可能比我更好地解释这一点： LINK

在我链接的网站上，他们修改了模型，使兔子在两年后死亡，并提出了一个新的递归关系。我想知道是否有可能为这个问题找到一个以 k 为单位的递归关系，即兔子成年后（分娩）的寿命？

关于如何解决这个问题有什么想法吗？

Answer 1

我将尝试给你一个提示，但不给你答案。

现在，您已经有了正常的斐波那契关系 f(n) = f(n-1)+f(n-2)，

但是对于兔子死亡的情况，您还必须减去一些东西。你必须减去死亡的兔子数量。

Answer 2

以下是活了 10 年的兔子的数据（注意第 11 年，即婴儿死亡的第一年）：

Year    New     Mature  Dead    Total
1       1       0       0       1
2       0       1       0       1
3       1       1       0       2
4       1       2       0       3
5       2       3       0       5
6       3       5       0       8
7       5       8       0       13
8       8       13      0       21
9       13      21      0       34
10      21      34      0       55
11      34      55      1       88
12      55      89      1       143
13      89      144     2       231
14      144     233     3       374
15      233     377     5       605
16      377     610     8       979
17      610     987     13      1584
18      987     1597    21      2563
19      1597    2584    34      4147
20      2584    4181    55      6710
21      4181    6765    89      10857

如您所见，死亡兔子的数量遵循斐波那契数列，偏移 10 年。当n <>时，总数仍然是Fn = Fn-1 + Fn-2。 11（或 n <> k+1），唯一不是 Fn = Fn-1 + Fn-2 的时间是在第 11 年 (k+1)，此时它是 F11 = Fn-1 + Fn-2 - Fn-k。我不知道如何将其形式化为一个方程。

Answer 3

我已经为此闲逛了几个星期，并针对兔子生活的任意年数 k 得出了以下结论：

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) - F(n - (k + 1))

我只能达到 k = 6，但它似乎有效，除非n = k。在这种特殊情况下，如果 F(0) = 1，则似乎可以工作。 k，该公式似乎有效（尽管正如我所说，此时 k <= 6）。