求函数 I(a,b,c,d) 积分的 4 维最小值 (a,b,c,d)

Question

我有一个令人讨厌的不连续二维积分 I(k,k''; J,Jp,a,b,c,d) ，它有 4 个变分参数 (a,b,c, d) 和 2 个固定常数(J,Jp)。求积分的过程并不简单，并且有第一步。

1. 我需要从 -pi 中找到一维积分的根 (mu) 到 pi

   A = 积分 [ 1/(exp(E(k; a,b,c,d)-mu)+1 ] dk/2pi = 0.5,

   其中 E 是一个由平方根和余弦组成的复杂函数。

2. 找到 mu 后，我需要找到 4D（全局）最小值 (a,b,c,d)值到此提供 J、Jp 的二维积分（与 -pi 到 pi 限制相同）。

   结果(J,Jp) = 最小值[ 积分 [ I(J,Jp;k,k''; a,b,c,d,mu) ] dk/2pi dk''/2pi ]< /code>

复杂的函数 I 基本上看起来就像

I(J,Jp;k,k''; a,b,c,d,mu) = A(k)*A(k'')*f(a,b,c,d)*[J cos(k+k'') + Jp cos(k-k'')]

我已经完成了使用假定值 a,b,c,d 查找 mu 的第一步，但是我不确定如何处理它们的任意值。除了嵌套所有 lambda 函数之外还有其他方法吗？即便如此，我该如何嵌套 lambda 函数来完成我的需要呢？

beta=100.0
a=1.2
b=1.5
c=0.1
d=0.5
findmu = lambda mu: integrate.quad(lambda k:1.0/(2.0*pi)*1.0/(exp(beta*(0.5*(c+d-2.0*(1.0+b)*cos(k)-sqrt(32.0*(b*cos(k/2.0))**2.0+(c-d-2.0*(1-b)*cos(k))**2.0))-mu))+1.0)-0.5/(2.0*pi), -pi,pi)
mu0 = optimize.fsolve(findmu,0.0)

我用 Mathematica 编写了程序，但获得最小值需要很长时间，而且有时是错误的。我想尝试将其移植到我目前正在学习的Python。谢谢！

编辑：有关物理系统的更多信息：第一步是通过对系统进行填充来找到量子系统的费米能级。通过费米能级，我们可以找到哪些变分参数可以最小化该 Hartree-Fock 系统的基态能量。

Answer 1

我根本没有看过你的方程，但我可以为你提供有关如何嵌套 lambda 的信息。您只需将 lambda a, b, c, d: 添加到当前 lambda 的前面，然后 findmu(a, b, c, d) 就会返回一个函数您将传递到 optimize.fsolve() 中，例如：

beta=100.0
findmu = lambda a, b, c, d: lambda mu: integrate.quad(lambda k:1.0/(2.0*pi)*1.0/(exp(beta*(0.5*(c+d-2.0*(1.0+b)*cos(k)-sqrt(32.0*(b*cos(k/2.0))**2.0+(c-d-2.0*(1-b)*cos(k))**2.0))-mu))+1.0)-0.5/(2.0*pi), -pi,pi)
mu0 = optimize.fsolve(findmu(1.2, 1.5, 0.1, 0.5),0.0)
# now just tweak the values for the arguments to findmu in subsequent calls

这将为 a、b、的值创建一个闭包c 和 d如果您传递给 findmu()，将 findmu 重命名为 make_findmu 或类似名称可能更有意义。

使用实际的函数定义而不是 lambda 可能会使代码更具可读性：

def make_findmu(a, b, c, d):
    beta = 100.0
    return lambda mu: integrate.quad(lambda k:1.0/(2.0*pi)*1.0/(exp(beta*(0.5*(c+d-2.0*(1.0+b)*cos(k)-sqrt(32.0*(b*cos(k/2.0))**2.0+(c-d-2.0*(1-b)*cos(k))**2.0))-mu))+1.0)-0.5/(2.0*pi), -pi,pi)

mu0 = optimize.fsolve(make_findmu(1.2, 1.5, 0.1, 0.5),0.0)