如何在不使用 if-else 的情况下编写relax-join 表达式？

Question

松弛连接运算符定义为：

如果关系 R 和 S 的自然连接非空，则返回 这次连接的结果；否则，返回 R 的笛卡尔积 和S。

问题是编写一个关系代数和 SQL，返回两个关系的relax-join，但不使用 IF-THEN-ELSE

Answer 1

由于这被标记为家庭作业，我想我只应该提供指导。

以下是需要考虑的一些事项：

1. 并集将允许您组合两个查询 A 和 A 的结果； B. A、B 或两者是否包含记录并不重要。

2. 交叉连接和自然连接将产生相同的结果列。 更新 正如 @ypercube 所指出的，MYSQL 中的情况并非如此。您可以编写 sql，以便它们返回相同的列，因此可以在联合中使用两者。这可能适合您，也可能不适合您。

3. 根据您的情况，如果您要返回记录，交叉联接将始终生成记录。自然连接可能会也可能不会。

我希望这不是太多的暗示，很难判断我是否透露太多或还不够。当您弄清楚时请告诉我们！

更新

我不知道在 x 时间后我们应该发布实际答案，但这是我暗示的伪查询：

SELECT * 
FROM R
CROSS JOIN S
WHERE NOT EXISTS (
    SELECT *
    FROM R
    NATURAL JOIN S
)

UNION

SELECT *
FROM R
NATURAL JOIN S

Answer 2

因为这是一个涉及关系的运算符，所以可以假设结果也必须是 SQL 中可能的关系，即没有重复的列、没有重复的行、没有空值等。顺便说一句，请注意，如果没有关系 R 和 S 很常见，那么它们的自然连接将产生与其乘积相同的结果。

正如已经指出的，如果R和S有一些共同的属性（相同的名称，相同的类型），那么在SQL中，表的乘积将产生重复的列。忽略查询 INFORMATION_SCHEMA 的想法，relax-join 不能在 SQL 中推广。相反，我们必须使用显式投影，即具有显式属性的 SELECT 子句，至少其中一些必须是“点限定”。举例来说，我们有 R { x, y } 和 S { y, z }，其中 y 是公共列，那么乘积可以是表示为：

SELECT DISTINCT R.x, R.y, S.z 
  FROM R CROSS JOIN S

即R的所有属性和S已知不共有的属性的投影。还有许多其他可能性会产生相同的结果，但所有可能性都涉及所涉及属性的先验知识，包括是否有共同的属性。

接受投影必须是显式的之后，通过将自然连接表示为其等价的 theta 连接，即带有 ON 子句的 [INNER] JOIN ，不会有任何损失：

SELECT DISTINCT R.x, R.y, S.z 
  FROM R JOIN S ON R.y = S.y

同样，我们有不需要 SQL 关键字CORRESPONDING（如UNION CORRESPONDING）。令人高兴的是，这意味着我的查询将全部在我选择的 SQL 产品 (SQL Server) 上运行！

我认为 J Cooper 暗示的一种方法是 a) 自然连接（可能是空集）和 b) 乘积（其中自然连接是空集）：

SELECT R.*, S.z 
  FROM R JOIN S ON R.y = S.y
UNION 
SELECT R.*, S.z 
  FROM R CROSS JOIN S 
 WHERE NOT EXISTS ( SELECT *
                      FROM R JOIN S ON R.y = S.y );

另一种方法是乘积减去对称差异（“互斥元组”），其中自然连接不是空集：

SELECT R.*, S.z 
  FROM R CROSS JOIN S 
EXCEPT
SELECT R.*, S.z 
  FROM R JOIN S ON R.y <> S.y
 WHERE EXISTS ( SELECT * 
                  FROM R JOIN S ON R.y = S.y );

Answer 3

SQL：

R1 = A equi_join B
R2 = A X B

R1
U
R2 not exists R1

这就是这个问题的答案。

由于作业截止日期已过：

R1 = A equi_join B
R2 = A X B

R3 = R2.* (R1 X R2)
R4 = R2 - R3

return (R1 U R4)