找到一个与常数或另一个矩阵相乘时给出相同结果的矩阵

Question

我遇到了类似 A*x=lambda*x 的问题，其中 A 的顺序为 d*d, x 的阶数是 d*c 并且 lambda 是一个常量。 A 和 lambda 已知，矩阵 x 未知。 matlab中有没有办法解决这个问题？ （与特征值类似，但 x 是 d*c 矩阵而不是向量）。

Answer 1

如果我理解正确的话，x 不一定有任何解决方案。如果A*x=lambda*x，则x的任意列y满足A*y=lambda*y >，因此 x 的列只是对应于特征值 lambda 的 A 的特征向量，并且只有在 lambda 实际上是一个特征值。

来自文档：

[V,D] = eig(A) 生成特征值 (D) 和特征向量矩阵
(V) 矩阵 A，使得 A*V = V*D。矩阵 D 是以下形式的规范形式
A — 对角矩阵，A 的特征值位于主对角线上。
矩阵 V 是模态矩阵 - 它的列是 A 的特征向量。

您可以使用它来检查 lambda 是否是特征值，并找到任何相应的特征向量。

Answer 2

你可以转化这个问题。使用 x(:) 将 x 写为向量（大小为 d*cx 1）。然后 A 可以重写为 ad*cxd*c 矩阵，该矩阵沿对角线具有 A 的 c 个版本。

现在这是一个简单的特征值问题。

Answer 3

这其实是微不足道的。您的要求是 A*X = lambda*X，其中 X 是一个数组。实际上，看看 X 的单列会发生什么。如果存在数组 X，则

A*X(:,i) = lambda*X(:,i)

为真，并且对于相同的值，这必须为真X 的所有列的 lambda。本质上，这意味着 X(:,i) 是 A 的特征向量，具有相应的特征值 lambda。更重要的是，这意味着 X 的每一列都与其他每一列具有相同的特征值。

因此，解决此问题的一个简单方法是简单地拥有一个具有相同列的矩阵 X，只要该列是 A 的特征向量。如果特征值的重数大于 1（因此存在多个具有相同特征值的特征向量），则X 的列可以是这些特征向量的任意线性组合。

在实践中尝试一下。我将选择一些简单的矩阵 A。V

>> A = [2 3;3 2];
>> [V,D] = eig(A)
V =
     -0.70711      0.70711
      0.70711      0.70711
D =
           -1            0
            0            5

的第二列是特征向量，特征值为 5。我们可以按任何常数任意缩放特征向量。现在选择向量 vec，并创建一个具有复制列的矩阵。

>> vec = [1;1];
>> A*[vec,vec,vec]
ans =
     5     5     5
     5     5     5

这应该不会令任何人感到惊讶。