如何根据 3D 平面和已知原点计算新的基础（变换矩阵）？

发布于 2025-01-03 13:00:22 字数 143 浏览 3 评论 0原文

给定一个 3D 平面及其上的任意点，我想考虑新基础的原点 (0,0,0)，可以： (A) 根据此信息定义基础？ (B) 创建一个变换矩阵，允许我在世界空间和新基础之间进行转换？

我可以假设变换是仿射的。

非常感谢！

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瑶笙 2025-01-10 13:00:22

简短的答案是肯定的，但由于您只有一个平面，因此新基础的方向将是任意的。

假设您有一个点 k 位于平面 P 上，并且您希望点 k 作为原点。您有 P = (N, d)，其中 N 是标准化平面法线，d 是从原点到平面的距离。

确定该平面上任意方向的正交基
定义 3 个向量右 R、上 U 和法线 N

我们已经有了 N，它只不过是法线平面

U = (0,1,0)
// If U is pointing in almost the same direction as N, change it
if (U.N > 0.7071) U = (0, 0, 1);
R = normalise (U x N)
U = normalise (N x R) // U was not orthonormal

现在定义一个 3x3 变换矩阵 M，其中矩阵的 3 行分别是 R、U 和 N。

      R
M = ( U )
      N

现在假设您想要将平面上的点 p 转换为点 p'。

p' = M ( p - k )

如果您想用一个矩阵完成所有这些操作，您可以将 M 和平移向量 -k 组合成一个 4x4 齐次矩阵。
注：

上面的 . 是向量点积
上面的 x 是向量叉积

HTH

The short answer is yes, but since you only have a plane the orientation of the new basis will be arbitrary.

Lets say you have a point k that lies on the plane P and you want point k as your origin. You have P = (N, d) where N is the normalised plane normal and d is the distance to the plane from the origin.

To determine an orthonormal basis with arbitrary orientation on this plane
Define 3 vectors right R, up U and normal N

We already have N which is nothing but the normal of the plane

U = (0,1,0)
// If U is pointing in almost the same direction as N, change it
if (U.N > 0.7071) U = (0, 0, 1);
R = normalise (U x N)
U = normalise (N x R) // U was not orthonormal

Now define a 3x3 transformation matrix M where the 3 rows of the matrix are R, U and N respectively.