计算时间复杂度..需要帮助得出最终结果

Question

为了明天的期中考试而学习，这些时间复杂性让我很挣扎。我将回顾书中的简单示例，对于此示例

交换排序，

void exchangesort (int n, keytype S[])
{
  index i, j;
  for(i=1; i<=n-1; i++)
    for(j=i+1; j<=n; j++)
      if(S[j] < S[i])
        exchange S[i] and S[j];
}

对于此交换排序的“每种情况时间复杂性”，我理解我们几乎分析的部分j for循环，因为它有基本操作（交换）。因此，如果您列出通过的总数，则为：

T(n) = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 = (n-1)n/2

现在我的问题是... 1 从哪里来？我以为是n-1 + n-2 +... + n。

此外，我真正不明白的是如何得出 (n-1)n/2。
这显然是我在期中必须想出的，通过观察，(n-1)n/2 并不直观......我明白如何想出T(n) = (n-1) + (n-2) 等等，我想......

有人可以用外行的术语向我解释一下，这样我就可以得出这样的答案明天期中考试？

Answer 1

在内循环中，j从i+1运行到n，即经过ni值。总共有几个

sum_{i = 1 to n-1} (n-i)

步骤，(n-1) + (n-2) + ... + (n - (n-1)) = (n-1) + (n-2) + .. . 1..

现在，对于前 k 个正整数的和，有一个封闭公式，就是

k*(k+1)/2

这里，k = n-1。

要计算前 k 个正整数之和的公式，有几种不错的方法，如 罗伯特·金的回答。据称，高斯在五岁的时候就用第一种方法算出来了，老师给学生们布置了计算1到100整数之和的任务，希望能有几分钟安静的时间。最好看看是否这样安排：

  1   +   2   + ... + (n-1) +   n
  n   + (n-1) + ... +   2   +   1
----------------------------------
(n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) = n*(n+1)

Answer 2

一种计算方法是：

sum=1+2+3+4+...+n

2*sum = 1+2+3+4+...+n + 1 + 2 + 3 + 4 +。 ..+n = 1+(n) + 2+(n-1) + 3+(n-2)..+ (n)+1

2*总和=1+n + 1+n + 1+n。 ..

2*总和 = n(1+n)

sum=n*(n+1)/2

但更简单的理解方法是想象一个正方形或网格矩阵。

当 i 向下移动到每个新行时，j 会穿过矩阵对角线的额外列（因为 i<=j .. 我们知道 j 无法超过对角线）。
这意味着所有操作都是矩阵对角线一侧 (i,j) 的组合。
因此，运算次数是整个矩阵面积的一半。如果矩阵是一个 *n 矩阵，那么我们大约有 n*n/2 面积（但由于我们不能将对角线数两倍，所以实际上是 n*(n-1)/2

Answer 3

好的，这样想：

When i = 1, inner loop runs (n - 1) times [j = 2 to n]
When i = 2, inner loop runs (n - 2) times [j = 3 to n]
When i = 3, inner loop runs (n - 3) times [j = 4 to n]
....
When i = k, inner loop runs (n - k) times [j = k + 1 to n]
...
When i = n - 1, inner loop runs (n - (n - 1)) = 1 time [j = n to n]

现在总结一下：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 1 = n(n - 1) / 2

在最坏的情况下，交换将进行n(n - 1) / 2次。

Answer 4

该级数从 (n-1) 到 (1) [(n-1), (n-2) ... (n-(n-1))]
请此处查看该系列的总和，了解它是如何得出的。它很容易理解。