通过 QR 分解、SVD（和 Cholesky 分解？）计算投影/帽子矩阵

Question

我正在尝试在 R 中计算任意 N x J 矩阵 S 的投影矩阵 P：

P = S (S'S) ^ -1 S'

我一直在尝试使用以下函数执行此操作：

P <- function(S){
  output <- S %*% solve(t(S) %*% S) %*% t(S)
  return(output)
}

但是当我使用这个我得到的错误看起来像这样：

# Error in solve.default(t(S) %*% S, t(S), tol = 1e-07) : 
#  system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

我认为这是数值下溢和/或不稳定性的结果，正如许多地方讨论的那样r-help 和 此处，但我使用 SVD 或 QR 的经验还不够分解以解决问题，或者将现有代码付诸实践。我也尝试过建议的代码，即将解决方案编写为系统：

output <- S %*% solve (t(S) %*% S, t(S), tol=1e-7)

但它仍然不起作用。任何建议将不胜感激。

我非常确定我的矩阵应该是可逆的并且不具有任何共线性，如果只是因为我尝试使用正交虚拟变量矩阵来测试它，但它仍然不起作用。

另外，我想将其应用于相当大的矩阵，所以我正在寻找一个简洁的通用解决方案。

Answer 1

虽然OP已经一年多没有活跃了，但我仍然决定发布一个答案。我会使用 X 而不是 S，因为在统计中，我们经常需要线性回归上下文中的投影矩阵，其中 X 是模型矩阵， y 是响应向量，而 H = X(X'X)^{-1}X' 是帽子/投影矩阵，因此 Hy 给出预测值。

这个答案假设了普通最小二乘的背景。对于加权最小二乘，请参阅从 QR 分解获取帽子矩阵以进行加权最小二乘回归。

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概述

求解基于一般方阵的 LU 分解。对于 X'X（应由 R 中的 crossprod(X) 而不是 t(X) %*% X 计算，请阅读 ?crossprod 了解更多）这是对称的，我们可以使用基于 Choleksy 分解的 chol2inv 。

然而，三角分解不如 QR 分解稳定。这并不难理解。如果X具有条件数kappa，则X'X将具有条件数kappa ^ 2。这可能会导致很大的数值困难。您收到的错误消息：

# system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

只是告诉我们这一点。 kappa ^ 2 约为 e-28，远小于 e-16 左右的机器精度。在容差 tol = .Machine$double.eps 的情况下，X'X 将被视为秩不足，因此 LU 和 Cholesky 分解将失败。

通常，在这种情况下我们会改用 SVD 或 QR，但旋转 Cholesky 分解是另一种选择。

• SVD是最稳定的方法，但成本太高；
• QR 非常稳定，计算成本适中，在实践中得到广泛使用；
• 旋转 Cholesky 速度很快，稳定性还可以接受。对于大型矩阵，这是首选。

下面我将解释这三种方法。

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使用 QR 分解

请注意，投影矩阵是排列无关的，即，我们是否执行带有或不带有旋转的 QR 分解并不重要。

在 R 中，qr.default 可以调用 LINPACK 例程 DQRDC 进行非透视 QR 分解，并调用 LAPACK 例程 DGEQP3 进行块透视 QR 分解。让我们生成一个玩具矩阵并测试这两个选项：

set.seed(0); X <- matrix(rnorm(50), 10, 5)
qr_linpack <- qr.default(X)
qr_lapack <- qr.default(X, LAPACK = TRUE)

str(qr_linpack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0861 0.3509 0.3357 0.1094 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.37 1.03 1.01 1.15
# $ pivot: int [1:5] 1 2 3 4 5
# - attr(*, "class")= chr "qr"

str(qr_lapack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0646 0.2632 0.2518 0.0821 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.21 1.56 1.36 1.09
# $ pivot: int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "useLAPACK")= logi TRUE
# - attr(*, "class")= chr "qr"

请注意，两个对象的 $pivot 是不同的。

现在，我们定义一个包装函数来计算 QQ'：

f <- function (QR) {
  ## thin Q-factor
  Q <- qr.qy(QR, diag(1, nrow = nrow(QR$qr), ncol = QR$rank))
  ## QQ'
  tcrossprod(Q)
  }

我们将看到 qr_linpack 和 qr_lapack 给出相同的投影矩阵：

H1 <- f(qr_linpack)
H2 <- f(qr_lapack)

mean(abs(H1 - H2))
# [1] 9.530571e-17

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使用奇异值分解

在 R 中，svd 计算奇异值分解。我们仍然使用上面的示例矩阵 X：

SVD <- svd(X)

str(SVD)
# List of 3
# $ d: num [1:5] 4.321 3.667 2.158 1.904 0.876
# $ u: num [1:10, 1:5] -0.4108 -0.0646 -0.2643 -0.1734 0.1007 ...
# $ v: num [1:5, 1:5] -0.766 0.164 0.176 0.383 -0.457 ...

H3 <- tcrossprod(SVD$u)

mean(abs(H1 - H3))
# [1] 1.311668e-16

我们再次得到相同的投影矩阵。

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使用枢轴 Cholesky 分解

为了演示，我们仍然使用上面的示例 X。

## pivoted Chol for `X'X`; we want lower triangular factor `L = R'`:
## we also suppress possible rank-deficient warnings (no harm at all!)
L <- t(suppressWarnings(chol(crossprod(X), pivot = TRUE)))

str(L)
# num [1:5, 1:5] 3.79 0.552 -0.82 -1.179 -0.182 ...
# - attr(*, "pivot")= int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "rank")= int 5

## compute `Q'`
r <- attr(L, "rank")
piv <- attr(L, "pivot")
Qt <- forwardsolve(L, t(X[, piv]), r)

## P = QQ'
H4 <- crossprod(Qt)

## compare
mean(abs(H1 - H4))
# [1] 6.983997e-17

我们再次得到相同的投影矩阵。