基于4个共面点的单应矩阵计算相机位姿

Question

我在视频（或图像）中有 4 个共面点，代表一个四边形（不一定是正方形或矩形），我希望能够在它们的顶部显示一个虚拟立方体，其中立方体的角正好位于角上视频四边形的。

由于这些点是共面的，我可以计算单位正方形的角（即 [0,0] [0,1] [1,0] [1,1]）和四边形的视频坐标之间的单应性。

根据这个单应性，我应该能够计算出正确的相机姿态，即 [R|t]，其中 R 是 3x3 旋转矩阵，t 是 3x1 平移向量，以便虚拟立方体位于视频四边形上。

我已经阅读了许多解决方案（其中一些是关于 SO 的）并尝试实现它们，但它们似乎只在某些“简单”情况下有效（例如当视频四边形是正方形时），但在大多数情况下不起作用。

以下是我尝试过的方法（大多数都是基于相同的原理，只是翻译的计算略有不同）。令 K 为相机的内函数矩阵，H 为单应矩阵。我们计算：

A = K-1 * H

设 a1,a2,a3 为 A 的列向量，r1,r2,r3 为旋转矩阵 R 的列向量。

r1 = a1 / ||a1||
r2 = a2 / ||a2||
r3 = r1 x r2
t = a3 / sqrt(||a1||*||a2||)

问题是这在大多数情况下不起作用。为了检查我的结果，我将R和t与OpenCV的solvePnP方法获得的结果进行了比较（使用以下3D点[0,0,0] [0,1,0] [1,0,0] [1,1 ,0])。

由于我以相同的方式显示立方体，我注意到在每种情况下，solvePnP 都会提供正确的结果，而从单应性获得的姿势大多是错误的。

理论上，因为我的点是共面的，所以可以从单应性计算姿势，但我找不到从 H 计算姿势的正确方法。

对我做错了什么有什么见解吗？

尝试@Jav_Rock的方法后进行编辑

Hi Jav_Rock，非常感谢您的回答，我尝试了您的方法（以及许多其他方法），这似乎或多或少都可以。 尽管如此，在基于 4 个共面点计算姿势时，我仍然遇到一些问题。为了检查结果，我将结果与solvePnP的结果进行比较（由于迭代重投影误差最小化方法，结果会好得多）。

下面是一个示例：

• 黄色立方体：解决 PNP
• 黑色立方体：Jav_Rock 的技术
• 青色（和紫色）立方体：一些其他技术给出了完全相同的结果

正如您所看到的，黑色立方体或多或少都可以，但看起来比例不太好，尽管向量看起来是正交的。

EDIT2：我在计算 v3 后对其进行了归一化（为了强制正交性），它似乎也解决了一些问题。

Answer 1

如果你有单应性，你可以用这样的方法计算相机姿势：

void cameraPoseFromHomography(const Mat& H, Mat& pose)
{
    pose = Mat::eye(3, 4, CV_32FC1);      // 3x4 matrix, the camera pose
    float norm1 = (float)norm(H.col(0));  
    float norm2 = (float)norm(H.col(1));  
    float tnorm = (norm1 + norm2) / 2.0f; // Normalization value

    Mat p1 = H.col(0);       // Pointer to first column of H
    Mat p2 = pose.col(0);    // Pointer to first column of pose (empty)

    cv::normalize(p1, p2);   // Normalize the rotation, and copies the column to pose

    p1 = H.col(1);           // Pointer to second column of H
    p2 = pose.col(1);        // Pointer to second column of pose (empty)

    cv::normalize(p1, p2);   // Normalize the rotation and copies the column to pose

    p1 = pose.col(0);
    p2 = pose.col(1);

    Mat p3 = p1.cross(p2);   // Computes the cross-product of p1 and p2
    Mat c2 = pose.col(2);    // Pointer to third column of pose
    p3.copyTo(c2);       // Third column is the crossproduct of columns one and two

    pose.col(3) = H.col(2) / tnorm;  //vector t [R|t] is the last column of pose
}

这个方法对我有效。祝你好运。

Answer 2

Jav_Rock 提出的答案并没有为三维空间中的相机姿势提供有效的解决方案。

为了估计单应性引起的树维变换和旋转，存在多种方法。 其中一个提供了分解单应性的封闭公式，但它们非常复杂。而且，解决方案从来都不是唯一的。

幸运的是，OpenCV 3 已经实现了这种分解（decomposeHomographyMat）。给定单应性和正确缩放的内在矩阵，该函数提供一组四种可能的旋转和平移。

Answer 3

以防万一有人需要 @Jav_Rock 编写的函数的 python 移植：

def cameraPoseFromHomography(H):
    H1 = H[:, 0]
    H2 = H[:, 1]
    H3 = np.cross(H1, H2)

    norm1 = np.linalg.norm(H1)
    norm2 = np.linalg.norm(H2)
    tnorm = (norm1 + norm2) / 2.0;

    T = H[:, 2] / tnorm
    return np.mat([H1, H2, H3, T])

在我的任务中工作得很好。

Answer 4

从单应矩阵计算 [R|T] 比 Jav_Rock 的答案稍微复杂一些。

在 OpenCV 3.0 中，有一个名为 cv::decomposeHomographyMat 的方法，它返回四个可能的解决方案，其中一个是正确的。然而，OpenCV 没有提供一种方法来选择正确的。

我现在正在研究这个问题，也许本月晚些时候会在这里发布我的代码。

Answer 5

图像上包含您的方块的平面具有消失的车道代理您的相机。
这条线的方程是Ax+By+C=0。

你的飞机的法线是（A，B，C）！

设 p00,p01,p10,p11 是应用相机内参后的齐次形式的点坐标，例如，p00=(x00,y00,1)

消失线可以计算为：

• down = p00 cross p01;
• 左 = p00 交叉 p10;
• 右 = p01 交叉 p11；
• 向上 = p10 交叉 p11;
• v1=左交叉右；
• v2=上叉下；
• 消失线 = v1 交叉 v2;

标准向量叉积中的 cross

Answer 6

你可以使用这个功能。对我有用。

def find_pose_from_homography(H, K):
    '''
    function for pose prediction of the camera from the homography matrix, given the intrinsics 
    
    :param H(np.array): size(3x3) homography matrix
    :param K(np.array): size(3x3) intrinsics of camera
    :Return t: size (3 x 1) vector of the translation of the transformation
    :Return R: size (3 x 3) matrix of the rotation of the transformation (orthogonal matrix)
    '''
    
    
    #to disambiguate two rotation marices corresponding to the translation matrices (t and -t), 
    #multiply H by the sign of the z-comp on the t-matrix to enforce the contraint that z-compoment of point
    #in-front must be positive and thus obtain a unique rotational matrix
    H=H*np.sign(H[2,2])

    h1,h2,h3 = H[:,0].reshape(-1,1), H[:,1].reshape(-1,1) , H[:,2].reshape(-1,1)
    
    R_ = np.hstack((h1,h2,np.cross(h1,h2,axis=0))).reshape(3,3)
    
    U, S, V = np.linalg.svd(R_)
    
    R = [email protected]([[1,0,0],
                   [0,1,0],
                    [0,0,np.linalg.det([email protected])]])@V.T
    
    t = (h3/np.linalg.norm(h1)).reshape(-1,1)
    
    return R,t

Answer 7

这是一个 Python 版本，基于 Dmitriy Voloshyn 提交的版本，该版本对旋转矩阵进行归一化并将结果转置为 3x4。

def cameraPoseFromHomography(H):  
    norm1 = np.linalg.norm(H[:, 0])
    norm2 = np.linalg.norm(H[:, 1])
    tnorm = (norm1 + norm2) / 2.0;

    H1 = H[:, 0] / norm1
    H2 = H[:, 1] / norm2
    H3 = np.cross(H1, H2)
    T = H[:, 2] / tnorm

    return np.array([H1, H2, H3, T]).transpose()