证明任意 a > b > 0，b^n 在 Big-O a^n 中

Question

证明对于任何实数，a, b 使得 a > b> 0，b^n 是 O(a^n)，n >=1。

我搜索了我拥有的几本有关离散数学的教科书，并在网上搜索了一些与此证明相关的类似示例或定理。我并不是在寻找直接的解决方案，但也许会向我展示正确的方法或范式来解决证明。

Answer 1

如果您的意思是

Prove that for any real numbers, a, b such that a > b > 0, b^n is O(a^n)

O(a^n) 的定义

那么，请考虑wiki 中的 ，

1) For f(x), g(x) defined on a subset of reals
2) if there exists some positive **constant** M and real number x_0, such that
3) if ABS(f(x)) <= M * ABS(g(x)) for all x > x_0

在本例中，f(x) = b^x 和 g(x) = a^x。我将把这个问题当作一个家庭作业问题来对待，即使它没有被标记为一个问题......如果我错了，请纠正我！

考虑将函数插入到步骤（尤其是 3）中，看看是否可以找出任何 x_0, M 对，它是正确的。祝你好运！

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编辑
我将 f(x) = b^n 和 g(x) = a^n 更改为 f(x) = b^x 并g(x) = a^x

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编辑 - 提示

步骤 3) 可以解释为：

ABS(f(x)) / ABS(g(x)) <= M for all x > x_0

选择您最喜欢的常数 M，然后看看您是否可以找到一些对所有都有效的x_0 x。