费希尔耶茨变体

Question

经典的 Fisher Yates 看起来像这样：

void shuffle1(std::vector<int>& vec)
{
    int n = vec.size();
    for (int i = n - 1; i > 0; --i)
    {
        std::swap(vec[i], vec[rand() % (i + 1)]);
    }
}

昨天，我错误地“向后”实现了迭代：

void shuffle2(std::vector<int>& vec)
{
    int n = vec.size();
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        std::swap(vec[i], vec[rand() % (i + 1)]);
    }
}

这个版本是否比第一个版本更差（或更好）？它会扭曲结果概率吗？

Answer 1

是的，假设 rand() 是均匀分布。我们将通过证明每个输入可以以相等的概率生成每个排列来证明这一点。

N=2很容易证明。
我们将其绘制为一棵树，其中子级代表通过将逗号后的字符插入最左边的字符串可以获得的每个字符串。

  0,1   //input where 0,1 represent indices
01  10  //output. Represents permutations of 01. It is clear that each one has equal probability

对于 N，我们将拥有 N-1 的所有排列，并随机交换 N 的最后一个字符。

    (N-1 0th permutation),N     .....          (N-1 Ith permutation),N ________________________  
      /              \                       /                   \                             \ 
0th permutation of N  1st permutation....   (I*N)th permutation   ((I*N)+1)th permutation .... (I*N)+(I-1)th permutation

这个糟糕的归纳应该会导致它具有均匀分布。

---

示例：

N=2：

  0,1
01  10 // these are the permutations. Each one has equal probability

N=3：

           0,1|2           // the | is used to separate characters that we will insert later
    01,2           10,2    // 01, 10 are permutations from N-1, 2 is the new value
 210 021 012   201 120 102 // these are the permutations, still equal probability

N=4：（弯曲以帮助阅读）

                                                           0,1|23

                                                       01,2|3  10,2|3

                                           012,3 021,3 210,3    102,3 120,3 201,3

0123 0132 0321 3230                                                                                  2013 2031 2310 3012
                    0213 0231 0312 3210                                          1203 1230 1302 3201
                                        2103 2130 2301 3102  1023 1032 1320 3021

等

Answer 2

对我来说看起来不错（假设 rand() % N 是无偏的，但事实并非如此）。似乎应该可以证明输入的每个排列都是由 1 个随机选择序列产生的，其中每个随机选择都是平衡的。

将此与错误的实现进行比较，例如

for (int i = 0; i < v.size(); ++i) {
  swap(v[i], v[rand() % v.size()]);
}

Here 你可以看到有 nⁿ 同等可能的方式来产生 n！排列，并且由于 nⁿ 不能被 n 整除！其中n> 2、其中一些排列必须比其他排列更频繁地产生。