进行迭代方案的最佳方法

Question

我希望以前没有人问过这个问题，如果是的话，我深表歉意。

编辑：为了清楚起见，将使用以下符号：矩阵用粗体大写，向量用粗体小写，标量用斜体。

假设x0是一个向量， A和B是矩阵函数，f是向量函数。

我正在寻找在 Mathematica 中执行以下迭代方案的最佳方法：

A0 = A(x0), B0=B(x0), f0 = f(x0)
x1 = Inverse(A0)(B0.x0 + f0)

A1 = A(x1), B1=B(x1), f1 = f(x1)
x2 = Inverse(A1)(B1.x1 + f1)

...

我知道 for-loop 可以做到这一点，但我不太熟悉 Mathematica，而且我担心这是最有效的方法。这是一个合理的担忧，因为我想定义一个函数 u(N):=xN 并在进一步的计算中使用它。

我想我的问题是：

对方案进行编程最有效的方法是什么？

RecurrenceTable 是一种可行的方法吗？

编辑

这比我想象的要复杂一些。我提供更多详细信息，以便获得更彻底的答复。

在进行递归之前，我在理解如何对函数 A、B 和 f 进行编程时遇到了问题。

矩阵A和B是时间步长dt = 1/T和空间步长dx = 1/M的函数em>，其中 T 和 M 是 {0 x < 1，0 < t} 地区。对于向量函数 f 也是如此。

A、B 和 f 对 x 的依赖性相当棘手：

A和 B 是上和下三角矩阵（就像三对角矩阵；我想我们可以称它们为 >多对角线），其上有定义的常数值对角线。

给定一个点 0 xs < 1，我需要确定它在网格中的代表性xn（最接近的），然后然后替换第n行strong>A 和 B 以及函数 v( x) （当然是转置的），以及第 n 个 行 f 具有函数w(x)。

总结一下，A = A(dt, dx, xs, x）。 B和f也是如此。

然后我需要执行上面提到的循环，定义 u( x) = step[T]。

希望我已经解释清楚了。

Answer 1

我不确定这是否是最好的方法，但我只会使用普通的旧记忆法。您可以将单个步骤表示为

xstep[x_] := Inverse[A[x]](B[x].x + f[x])

然后

u[0] = x0
u[n_] := u[n] = xstep[u[n-1]]

如果您提前知道需要多少个值，并且出于某种原因预先计算所有值是有利的（例如您想要打开一个文件，使用其内容来计算xN，然后释放内存），您可以使用NestList。而不是前两行，您可以这样做

xlist = NestList[xstep, x0, 10];
u[n_] := xlist[[n]]

This will break if n >当然是 10（显然，更改 10 以满足您的实际要求）。

当然，可能值得查看您的特定函数，看看是否可以进行一些代数简化。

Answer 2

我可能会编写一个接受 A0、B0、x0 和 f0 的函数，然后返回 A1、B1、x1 和 f1 - 假设

step[A0_?MatrixQ, B0_?MatrixQ, x0_?VectorQ, f0_?VectorQ] := Module[...]

我会嵌套该函数。如果没有更精确的信息，就很难做到更精确。

另外，如果您的过程是数值过程，那么您当然不想计算Inverse[A0]，因为这不是一个数值稳定的操作。相反，您应该编写

A0.x1 == B0.x0+f0

并使用数值稳定的求解器来查找 x1。当然，Mathematica的LinearSolve提供了这样的算法。