随机生成正交 3x3 矩阵

Question

我希望在 Seimens NX 中进行一些复杂的零件分析。我正在寻求实现测量模型的双卡尺方法，以便找到它可能适合的最小可能的盒子（用于加工目的）。我已经准备好了所有测量代码，但我对可以随机输出归一化 3x3 向量用作坐标系的构造的想法感到完全困惑。零件是相对于该坐标系进行测量的，因此每个坐标系都会给出唯一的“最小零件包络”。分析后，将选择并显示最小的包络。

this is the type of vector I am talking about:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

numbers can be any value between -1 and 1, with decimals not only being accepted but pretty much required.

不，这不是我的作业。更多的是我在工作空闲时间的个人追求。

Answer 1

如果将旋转矩阵应用于已经正交的矩阵，那么结果也应该是正交的。

因此，您可以将问题重新定义为将随机旋转矩阵应用于单位矩阵。

也许为每个轴（x，y，z）做一个随机旋转矩阵，然后以随机顺序应用矩阵本身？

Answer 2

如果您不介意仅考虑正交矩阵的特殊子集，则有一种更简单的方法可以实现此目的，即利用 Rodrigues 旋转公式 生成 旋转矩阵（它有一个附加约束，即行列式等于 1）。

有了这个，你只需要生成一个随机的3x1单位向量（作为旋转轴）并指定一个旋转角度。该公式会将它们转换为有效的旋转矩阵。

MATLAB 示例：

function R = rot(w, theta)
  bw = [0, -w(3), w(2); w(3), 0, -w(1); -w(2), w(1), 0];
  R = eye(3) + sin(theta)*bw + (1-cos(theta))*bw*bw;
end

w = rand(3,1)
w = w/norm(w)
R = rot(w, 3.14)

C++ 示例：

// w: the unit vector indicating the rotation axis
// theta: the rotation angle in radian
Eigen::Matrix3d MatrixExp3 (Eigen::Vector3d w, float theta){
  Eigen::Matrix3d bw, R;
  bw << 0, -w(2), w(1), w(2), 0, -w(0), -w(1), w(0), 0;
  R << Eigen::Matrix3d::Identity() + std::sin(theta)*bw + (1-std::cos(theta))*bw*bw;
  return R;
}

int main() {
  std::srand((unsigned int) time(0));
  Eigen::Vector3d w = Eigen::Vector3d::Random();
  Eigen::Matrix3d R = MatrixExp3(w.normalized(), 3.14f);
  std::cout << R << std::endl;
}