这2个背包算法一样吗？ （他们总是输出相同的东西吗）

Question

在我的代码中，假设C是容量，N是物品数量，w[j]是物品j的重量，v[j]是物品j的值，它与0-做同样的事情吗？ 1 背包算法？我一直在一些数据集上尝试我的代码，情况似乎确实如此。我想知道这一点的原因是因为我们学过的 0-1 背包算法是二维的，而这是一维的：

for (int j = 0; j < N; j++) {
    if (C-w[j] < 0) continue;
    for (int i = C-w[j]; i >= 0; --i) { //loop backwards to prevent double counting
        dp[i + w[j]] = max(dp[i + w[j]], dp[i] + v[j]); //looping fwd is for the unbounded problem
    }
}
printf( "max value without double counting (loop backwards) %d\n", dp[C]);

这是我对 0-1 背包算法的实现：（使用相同的变量）

for (int i = 0; i < N; i++) {
    for (int j = 0; j <= C; j++) {
        if (j - w[i] < 0) dp2[i][j] = i==0?0:dp2[i-1][j];
        else dp2[i][j] = max(i==0?0:dp2[i-1][j], dp2[i-1][j-w[i]] + v[i]);
    }
}
printf("0-1 knapsack: %d\n", dp2[N-1][C]);

Answer 1

是的，您的算法会得到相同的结果。这种对经典 0-1 Knapsack 的增强相当受欢迎：Wikipedia 将其解释为如下：

此外，如果我们仅使用一维数组 m[w] 来存储当前最优值，并传递该数组 i + 1 次，每次都从 m[W] 重写为 m[1]，我们得到仅 O(W) 空间的结果相同。

请注意，他们特别提到了您的后向循环。