为什么我收到“没有可显示的有效数字”在这个例子中？

Question

V 8.0.4，Windows 7。

当我试图看看如果我能让 M 在硬件单精度中运行时是否可以获得更快的计算（我不知道即使这是否可能，我正在尝试）我注意到当我碰巧使 Precision 略小于 double，但比 single 更好时，AbsoluteTiming 返回 0，用于计时 Pause：

这是一个示例：

我重新启动内核，然后键入

r=AbsoluteTiming[Pause[2]]
{2.00111440000,Null}

Accuracy[r]

Out[26]= 11.438897913739035

Now I set M to double

 $MinPrecision=$MachinePrecision;
 $MaxPrecision=$MachinePrecision;
 r=AbsoluteTiming[Pause[2]]

 Out[32]= {2.001114400000000,Null}

 Accuracy[r]
 Out[33]= 15.653317853034773

没问题。

但当我这样做时

 prec=Log[10,2]*29;
 $MaxPrecision=prec;
 $MinPrecision=prec;

 r=AbsoluteTiming[Pause[2]]

 Out[41]= {0.,Null}

，你看，它是零。

 Accuracy[r]
 Out[42]= 307.6526555685888

但我一直试图看看它到底在哪里从零翻转到返回实际秒数，并在一次尝试中得到了这个

我知道 M 在内部使用任意精度数：

http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/ArbitraryPrecisionNumbers.html

从上面的链接中可以看出：

In doing calculations that degrade precision, it is possible 
to end up with numbers that have no significant digits at all

我的问题是：有人可以解释这个例子中的这种行为吗？为什么测量 Pause[] 的时间需要比单精度更高的精度？测量 AbsoluteTime 至少需要两倍的计算量，具体涉及哪些计算？帮助说：

AbsoluteTiming is always accurate down to a granularity of $TimeUnit 
seconds, but on many systems is much more accurate.

实际上

In[22]:= $TimeUnit//N
Out[22]= 0.001

我的主要目的只是看看我是否可以让 M 使用硬件单精度浮点运行计算，只是看看它是否会运行得更快。我在一本书中读到，单精度可以是双精度的两倍，当我注意到这一点时，我正试图在我拥有的东西上测试这一点。

我目前在顶部运行所有内容，

$MinPrecision = $MachinePrecision;
$MaxPrecision = $MachinePrecision;

以便 M 使用硬件双倍运行。

谢谢， 附注我之前检查过控制台，没有发现语法错误。

Answer 1

首先，我认为设置 $MaxPrecision 和/或 $MachinePrecision 不会产生您想要的效果。这是一个例子。

$MaxPrecision = $MinPrecision = $MachinePrecision;
result1 = Nest[4 # (1 - #) &, 0.123, 10^6]; // Timing
result2 = Nest[4 # (1 - #) &, SetPrecision[0.123, 
   $MinPrecision], 10^6]; // Timing

在我的机器上，第一次计算需要百分之八秒，而第二次计算需要近三秒。现实情况是，第一次计算是用机器算术完成的，而第二次计算是用软件算术完成的，两者恰好具有相同的数值精度。

我认为在 Mathematica 8 中强制执行机器算术的最简单方法是使用 Compile 并将 "CatchMachineOverflow" 和 "CatchMachineUnderflow" 设置为 <代码>假;或者更好的是，只需将“RuntimeOptions”设置为“Speed”即可。

另外，我认为您的 AbsoluteTiming 命令得到 0 的原因是您将精度设置得太低而无法表示结果。