如何从概率不均匀的列表中选择一个值？

Question

我正在查看 k-means++ 初始化算法。该算法的以下两个步骤会产生非均匀概率：

对于每个数据点 x，计算 D(x)，即 x 与数据点之间的距离 已选择的最近的中心。

使用加权随机选择一个新数据点作为新中心 概率分布，其中以概率选择点 x 与 D(x)^2 成正比。

我如何在 C++ 中使用这种规定的加权概率分布进行选择？

Answer 1

使用 随机 标头并使用 std::discrete_distribution。这是示例：

#include <iostream>
#include <map>
#include <random>

int main()
{
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::discrete_distribution<> d({20,30,40,10});
    std::map<int, int> m;
    for(int n=0; n<10000; ++n) {
        ++m[d(gen)];
    }
    for(auto p : m) {
        std::cout << p.first << " generated " << p.second << " times\n";
    }
}

这是输出的示例：

0 generated 2003 times
1 generated 3014 times
2 generated 4021 times
3 generated 962 times

Answer 2

对于一组有限的单独数据点 X，这需要离散概率分布。

最简单的方法是按顺序枚举点 X，并计算代表其累积概率分布函数的数组：（伪代码如下）

/* 
 * xset is an array of points X,
 * cdf is a preallocated array of the same size
 */
function prepare_cdf(X[] xset, float[] cdf)
{
   float S = 0;
   int N = sizeof(xset);
   for i = 0:N-1
   {
      float weight = /* calculate D(xset[i])^2 here */
      // create cumulative sums and write to the element in cdf array
      S += weight;
      cdf[i] = S;
   }

   // now normalize so the CDF runs from 0 to 1
   for i = 0:N-1
   {
      cdf[i] /= S;
   }
}

function select_point(X[] xset, float[] cdf, Randomizer r)
{
   // generate a random floating point number from a 
   // uniform distribution from 0 to 1
   float p = r.nextFloatUniformPDF();
   int i = binarySearch(cdf, p);
   // find the lowest index i such that p < cdf[i]

   return xset[i];
}

您调用prepare_cdf一次，然后根据需要多次调用select_point来生成随机点。

Answer 3

我将采用以下方法：

• 迭代数据点，将其 D 平方存储在 double distance_squareds[] 或 std::vector中。 distance_squareds 或其他什么，并将它们的 D 平方和存储在 double sum_distance_squareds 中。
• 使用drand48函数 在 [0.0, 1.0) 中选择一个随机数，并乘以 sum_distance_squareds；将结果存储在random_number中。
• 迭代 distance_squareds，再次将这些值相加，一旦运行总计达到或超过 random_number，就返回与该 D 平方相对应的数据点你刚刚添加了。
• 由于舍入误差，您很可能会在没有返回的情况下完成循环；如果是这样，只需返回第一个数据点，或最后一个数据点，或其他任何数据点。 （但别担心，这应该是一种非常罕见的边缘情况。）

Answer 4

这里有一些可以帮助你的东西，
使用具有给定概率分布（prob..）的（numbers..）数组，它将为您生成具有这些概率的（数字）（在这里它将对它们进行计数）。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
#define ARRAY_SIZE(array) (sizeof(array)/sizeof(array[0]))

int checkDistribution(double random, const map<double, vector<int> > &distribution_map)
{
    int index = 0;
    map<double, vector<int> >::const_iterator it = distribution_map.begin();
    for (; it!=distribution_map.end(); ++it)
    {
        if (random < (*it).first)
        {
                int randomInternal = 0;
                if ((*it).second.size() > 1)
                    randomInternal = rand() % ((*it).second.size());
                index = (*it).second.at(randomInternal);
                break;
        }
    }
    return index;
}

void nextNum(int* results, const map<double, vector<int> > &distribution_map)
{
    double random  = (double) rand()/RAND_MAX;
    int index = checkDistribution(random,distribution_map);
    results[index]+=1;
}

int main() {

    srand (time(NULL));
    int results [] = {0,0,0,0,0};
    int numbers [] = {-1,0,1,2,3};
    double prob [] =  {0.01, 0.3, 0.58, 0.1, 0.01};
    int size = ARRAY_SIZE(numbers);
    // Building Distribution
    map<double, vector<int> > distribution_map;
    map<double, vector<int> >::iterator it;
    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        it = distribution_map.find(prob[i]);
        if (it!=distribution_map.end())
            it->second.push_back(i);
        else
        {
            vector<int> vec;
            vec.push_back(i);
            distribution_map[prob[i]] = vec;
        }
    }
    // PDF to CDF transform
    map<double, vector<int> > cumulative_distribution_map;
    map<double, vector<int> >::iterator iter_cumulative;
    double cumulative_distribution = 0.0;
    for (it=distribution_map.begin();it!=distribution_map.end();++it)
    {
        cumulative_distribution += ((*it).second.size() * (*it).first);
        cumulative_distribution_map[cumulative_distribution] = (*it).second;
    }

    for (int i = 0; i<100; i++)
    {
        nextNum(results, cumulative_distribution_map);
    }
    for (int j = 0; j<size; j++)
        cout<<" "<<results[j]<<" ";
    return 0;
}