Mathematica FullSimplify[Sqrt[5+2 Sqrt[6]]] 产生 Sqrt[2]+Sqrt[3] 但 FullSimplify[-Sqrt[5+2 Sqrt[6]]] 未简化，为什么？

Question

我正在玩（美丽的）多项式x^4 - 10x^2 + 1。 看看会发生什么：

 In[46]:= f[x_] := x^4 - 10x^2 + 1
          a = Sqrt[2];
          b = Sqrt[3];
          Simplify[f[ a + b]]
          Simplify[f[ a - b]]
          Simplify[f[-a + b]]
          Simplify[f[-a - b]]
 Out[49]= 0
 Out[50]= 0
 Out[51]= 0
 Out[52]= 0

 In[53]:= Solve[f[x] == 0, x]
 Out[53]= {{x->-Sqrt[5-2 Sqrt[6]]},{x->Sqrt[5-2 Sqrt[6]]},{x->-Sqrt[5+2 Sqrt[6]]},{x->Sqrt[5+2 Sqrt[6]]}}
 In[54]:= Simplify[Solve[f[x] == 0, x]]
 Out[54]= {{x->-Sqrt[5-2 Sqrt[6]]},{x->Sqrt[5-2 Sqrt[6]]},{x->-Sqrt[5+2 Sqrt[6]]},{x->Sqrt[5+2 Sqrt[6]]}}
 In[55]:= FullSimplify[Solve[f[x] == 0, x]]
 Out[55]= {{x->Sqrt[2]-Sqrt[3]},{x->Sqrt[5-2 Sqrt[6]]},{x->-Sqrt[5+2 Sqrt[6]]},{x->Sqrt[2]+Sqrt[3]}}

Sqrt[5-2 Sqrt[6]] 等于 Sqrt[3]-Sqrt[2]。
但是，Mathematica 的 FullSimplify 不会简化 Sqrt[5-2 Sqrt[6]]。

问题：我应该使用其他更专业的函数来代数求解方程吗？如果有，是哪一个？

Answer 1

事实上，Solve 并没有最大限度地简化所有根：

A < code>FullSimplify 后处理步骤简化了两个根并保持另外两个不变：

最初发生的情况与Roots：

很奇怪，现在 FullSimplify 简化了所有根：

我认为，这样做的原因是对于默认的 ComplexityFunction上面用嵌套部首写的一些解决方案在某种意义上比其他解决方案更简单。

顺便说一句 FunctionExpand 知道如何处理这些偏旁部首：

Answer 2

FullSimplify[ Solve[x^4-10x^2+1==0,x]
, 
  ComplexityFunction -> 
   (StringLength[ToString[
      InputForm[#1]]] & )]

给出

{{x -> Sqrt[2] - Sqrt[3]}, {x -> -Sqrt[2] + Sqrt[3]}, {x -> -Sqrt[2] -
 Sqrt[3]}, {x -> Sqrt[2] + Sqrt[3]}}