组合模式来收集术语

Question

我有一个 Mathematica 表达式（称为 expr），它是许多项的总和。我还有一个列表（称为 var），其中包含可能出现在其中一些术语中的一些变量和函数。

我想做的第一件事是提取包含一定次数的多个变量和函数的术语。例如，如果 var = {a, f[_]}，那么我可能想要一次性提取包含变量 a 和函数 的所有术语f 2 次。 f[f[a + b]] 是满足这些条件的术语示例。

我想做的第二件事是创建一个列表（称为输出），其中一次包含原始表达式的所有项。该列表应该根据术语包含 var 中指定的变量和函数的次数对术语进行分组。 对于 var = {a, f[_]} ，输出将为 output = {{包含 0 * a 和 0 * f[_] 的项的总和，“.. ." 1 * a 和 0 f, "...的总和" 2a 0f, ... }, {"...的总和" 0a 1f, "...的总和" 1a, 1f, ... } }

给定问题 2 的解决方案，解决问题1很容易：要提取表达式的某个项，您只需从列表输出中选择正确的元素即可。出于这个原因，我尝试解决问题 2。为了让事情变得清晰，我从一个简单的表达式开始，只包含一个术语。首先我生成一个模式列表

expr = f[a + f[y]]
var = {{a, 1}, {f[_], 3}}
basicpattern[symbol_, n_, term_] = 
Hold[Table[Count[{term}, symbol, 10] == i, {i, 0, n}]]
basicpattern[#1, #2, expr] & @@@ var // ReleaseHold

输出为

{{False, True}, {False, False, True, False}}

解释是：变量 a 出现一次，函数 f 出现 2 次。 现在我想采用 basicpattern 内列表的外积来进行模式组合。然后，新的模式列表可以与 Cases 一起使用，从 expr 中选择术语并将它们放入列表中。

我被困在这里：如何获取列表内列表的外积？我猜

Outer[And, {{True, False}, {True, False, False, False}}, 1]

但这并没有给出八项。

更新

在 Sjoerd 的帮助下，我走得更远了。

expr = f[a + f[y]];
var = {{a, 1}, {f[_], 3}};
basicpattern[symbol_, n_, term_] := 
Table[Hold[Count[{term}, symbol, 10]] == i, {i, 0, n}];
basicpattern[#1, #2, expr] & @@@ var;
Outer[And, ##] & @@ %;
test = %[[2, 3]]
%// ReleaseHold

给出输出

Hold[Count[{f[a + f[y]]}, a, 10]] == 1 &&
Hold[Count[{f[a + f[y]]}, f[_], 10]] == 2
True

解释是 f[a + f[y]] 包含一次 a 和两次 f[_]。 外部产品是这样的测试列表。

假设我将 expr 更改为

expr = f[a + f[y]] + g[z] + y^2 - 13 x + 12a + af[x]

如何使用 test 的内容收集包含一个 a 的所有项两次 f[_]？

Answer 1

你的故事很长，但我想你的问题可以归结为：

如何获取列表内列表的外积？

如果这是您唯一想知道的事情，那么您就很接近了。可以简单地这样做：

booleanLists = {{True, False}, {True, False, False, False}};

Outer[And, ##] & @@ booleanLists

(* ==>  {{True, False, False, False}, {False, False, False, False}} *)