Arrow和Monad，两个独立的视点来组成计算？

Question

我读过 Brent Yorgey 在 Monad.Reader 中写的“The Typeclassopedia” #13，发现“Functor层次结构”与“Category层次结构”相互依赖，如图1所示。



而且根据作者的说法，ArrowApply == Monad，尤其是前一个只是一个类型类实例，可以在以下情况下使用：

“我们希望能够根据中间结果计算出一个箭头，并使用这个计算出的箭头继续计算。这是 ArrowApply 赋予我们的能力。”

但我们怎样才能把这些东西放在一起呢？我的意思是 Monad 和 Arrow 中都有一些流程控制函数（例如 if 和 else 与 ArrowChoice 或 forM< /code> 与 ArrowLoop），并且 Monad 中的某些功能似乎“缺失”（(***),(|||) 或首先）。所有这些看起来就像我们需要在使用 Monad 或 Arrow 系统来构建我们的副作用计算流程之间做出选择，并且会失去另一个系统中的一些功能。

Answer 1

答案如下（所有这些都来自 Control.Arrow 文档）

newtype ArrowApply a => ArrowMonad a b = ArrowMonad (a () b)
instance Monad ArrowApply a => Monad (ArrowMonad a)

ArrowMonad 新类型是我们为 ArrowApply 箭头定义 Monad 实例的载体。我们本来可以使用

instance Monad ArrowApply a => Monad (a ())

，但这会导致 Haskell 的有限类型类推断出现问题（我认为它可以与 UndecideableInstances 扩展一起使用）。

您可以将 ArrowApply 箭头的 Monad 实例视为将单子操作转换为等效的箭头操作，如源代码所示：

instance ArrowApply a => Monad (ArrowMonad a) where
        return x = ArrowMonad (arr (\_ -> x))
        ArrowMonad m >>= f = ArrowMonad (m >>>
                        arr (\x -> let ArrowMonad h = f x in (h, ())) >>>
                        app)

所以知道我们知道ArrowApply 与 Monad 一样强大，因为我们可以在其中实现所有 Monad 操作。令人惊讶的是，反之亦然。这是由 @hammar 指出的 Kleisli 新类型给出的。观察：

newtype Kleisli m a b = Kleisli { runKleisli :: a -> m b }

instance Monad m => Category (Kleisli m) where
        id = Kleisli return
        (Kleisli f) . (Kleisli g) = Kleisli (\b -> g b >>= f)

instance Monad m => Arrow (Kleisli m) where
        arr f = Kleisli (return . f)
        first (Kleisli f) = Kleisli (\ ~(b,d) -> f b >>= \c -> return (c,d))
        second (Kleisli f) = Kleisli (\ ~(d,b) -> f b >>= \c -> return (d,c))

instance Monad m => ArrowApply (Kleisli m) where
        app = Kleisli (\(Kleisli f, x) -> f x)

instance Monad m => ArrowChoice (Kleisli m) where
    left f = f +++ arr id
    right f = arr id +++ f
    f +++ g = (f >>> arr Left) ||| (g >>> arr Right)
    Kleisli f ||| Kleisli g = Kleisli (either f g)

前面给出了使用 monad 操作的所有常见箭头操作的实现。 (***) 没有被提及，因为它有一个使用 first 和 second 的默认实现：

f *** g = first f >>> second g

所以现在我们知道如何实现箭头 (< code>Arrow、ArrowChoice、ArrowApply）使用 Monad 操作进行操作。

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回答你关于为什么我们同时拥有 Monad 和 Arrow 的问题（如果它们是等价的）：

当我们不需要箭头的全部功能时，功能较弱的箭头很有用。 monad，就像应用函子一样有用。尽管 ArrowApply 和 Monad 是等效的，但没有 app 的 Arrow 或 ArrowChoice是在 Monad 层次结构中无法表示的东西。反之亦然，Applicative 无法在箭头层次结构中表示。
这是因为 ap 在 monad 层次结构中是“第一个”，在箭头层次结构中是“最后一个”。

单子世界和箭头世界之间的主要语义区别在于箭头捕获转换（arr b c 意味着我们从 b 生成 c），而 monad 捕获一个操作（monad a 生成一个 a）。这种差异在 Kleisli 和 ArrowMonad 新类型中得到了很好的体现：

newtype Kleisli m a b = Kleisli { runKleisli :: a -> m b }
newtype ArrowApply a => ArrowMonad a b = ArrowMonad (a () b)

在 Kleisli 中，我们必须添加源类型 a ，并在 ArrowMonad 中我们将其设置为 ()。

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我希望这能让您满意！