Haskell 函子隐含定律

Question

Typeclassopedia 说：

“类似的论点还表明，任何满足第一定律 (fmap id = id) 的 Functor 实例将自动满足实际上，这意味着只需检查第一定律（通常通过非常简单的归纳）即可确保 Functor 实例有效。”

如果是这样的话，为什么我们还要提到第二函子定律呢？

Law 1: fmap id = id
Law 2: fmap (g . h) = (fmap g) . (fmap h)

Answer 1

虽然我无法给出证明，但我相信这说明的是由于参数化，只要第一定律成立，类型系统就强制执行第二定律。指定这两个规则的原因是，在更一般的数学设置中，您可能有一些类别 C，其中完全可以定义从 C 到其自身的“映射” （即 Obj(C) 和 Hom(C 上的一对内函数) 分别) 遵守第一条规则但未能遵守第二条规则，因此无法构成函子。

请记住，Haskell 中的函子是 Hask 类别上的endofunctor，甚至不是所有在数学上被视为 Hask 上的endofunctor 的东西都可以表达在 Haskell 中...参数多态性的约束排除了能够指定一个对于它映射的所有对象（类型）行为不统一的函子。

基于此帖子，普遍的共识似乎是第二个对于 Haskell Functor 实例，定律遵循第一个定律。爱德华·克梅特 说，

给定 fmap id = id, fmap (f . g) = fmap f . fmap g 来自 free
fmap定理。

这是很久以前在一篇论文中作为旁白发表的，但我忘了在哪里。

Answer 2

使用seq，我们可以编写一个满足第一条规则但不满足第二条规则的实例。

data Foo a = Foo a
    deriving Show

instance Functor Foo where
    fmap f (Foo x) = f `seq` Foo (f x)

我们可以验证这满足第一定律：

fmap id (Foo x)
= id `seq` Foo (id x)
= Foo (id x)
= Foo x

但是，它违反了第二定律：

> fmap (const 42 . undefined) $ Foo 3
Foo 42
> fmap (const 42) . fmap undefined $ Foo 3
*** Exception: Prelude.undefined

也就是说，我们通常会忽略这种病态的情况。

Answer 3

我想说第二定律没有被提及是出于有效性原因，而是作为一个重要的属性：

第一定律规定将恒等函数映射到每个项目上
在容器中没有任何影响。第二个说映射一个
容器中每个项目的两个函数的组合是
与首先映射一个函数，然后映射另一个函数相同。
--- 类型分类百科

（我不明白为什么第一定律暗示第二定律，但我不是一个熟练的 Haskeller - 当你知道发生了什么时，它可能是显而易见的）

Answer 4

似乎最近才意识到法则 2 源自法则 1。因此，在最初编写文档时，它可能被认为是一个独立的要求。

（就我个人而言，我并不相信这个论点，但由于我自己没有时间弄清楚细节，所以我在这里给予它怀疑的好处。）