从 sin(a) 得到 cos(a) 的最佳方法

Question

将 s 作为某个（未知）角度“a”的正弦，获得“a 的余弦”的最快方法是什么？

我知道两种明显的方法：

c = cos(asin(s));

和

c = sqrt(1 - s*s);

但我不知道函数 cos()、asin() 和 sqrt() 的实现在速度方面如何相互比较。一个比另一个快多快？它们在现代处理器中的实现（例如 x86-64 和带有 VFP 的 ARM）之间是否存在显着差异？最后，更好的解决方案是什么？

编辑：由于现在已经有 3 个不相关的答案，让我澄清一下：我最初没有角度，我拥有的只是正弦。所以不需要告诉我将角度旋转 90 度，这样我就可以从其他函数获得相同的值......

Answer 1

这是一种方法：

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1（毕达哥拉斯）

cos(a) = sqrt(1 - sin(a)^2))

您需要找出不同的象限（即分别 cos() 的符号）。如果您拥有的只是 sin() 值（不同角度可以具有相同的 sin() 但 cos() 符号不同），则这是不可能的。

正如其他人指出的那样，查找表实际上可能是最快的。取决于你需要什么精度。这几乎肯定会比你的 cos(asin()) 版本更快，并且 平方根也可以在实践中进行优化。

• SSE 和 ARM-NEON 有平方根指令，但没有三角函数。
• x87 有平方根和 sin/cos，但没有反 sin/cos 函数。平方根比 sin/cos 更快。

在我的 Core i3 笔记本电脑上，使用 Visual Studio 2010，此方法的性能比基于三角函数的版本（具有快速浮点选项）快约 6 倍（每次调用约 20 纳秒）。让我们看看生成的代码：

快速浮点选项，使用平方根：

; 15   :     return sqrt(1.0 - s*s);

    movsd   xmm1, QWORD PTR __real@3ff0000000000000
    mulsd   xmm0, xmm0
    subsd   xmm1, xmm0
    sqrtsd  xmm0, xmm1

使用三角函数：

; 22   :     return cos(asin(s));
call    ___libm_sse2_asin
jmp ___libm_sse2_cos

当切换到精确浮点模式时，生成的三角代码使用不同的函数（大概是 SSE 优化版本牺牲了精度）：

fld QWORD PTR _angle_sin$[esp+esi+65600]
call    __CIasin
call    __CIcos
fstp    QWORD PTR _angle_cos$[esp+esi+65600]

Answer 2

最好的方法是使用 eps * sqrt(1 - s * s) ，其中 eps 是加或减 1。这是最好的方法

• ，就准确性而言，因为 1 - s * s 保持接近于 1，因此计算平方根的误差很小。 计算 的余弦如果你处于“接近一”的情况，反正弦可能会失去精度（练习：1/为什么？提示：记住 sin 在 pi/2 处最大，其导数消失 2/ 尝试一下。） 编辑：我说得太快了，因为当s接近1时，sqrt(1 - s * s)也有同样的问题。
• 就速度而言：平方根很容易（一些类似牛顿的方法的一些算术运算），但不清楚 asin 的作用（可能相当昂贵），cos 可能比 sqrt 慢一个数量级，因此一个平方根可能比这两个超越函数调用更快。有疑问，个人资料（但我准备赌一些钱）。

忘记查找表，直到您证明 sqrt(1 - s * s) 对您来说不够快（即使如此，您也可以找到方法来权衡一些 sqrt代码>速度的准确性）。

Answer 3

用极坐标可视化单位圆。 r=1，theta =（角度）。则单位圆上 X,Y（笛卡尔）坐标中的任意点为 ( cos( theta ), sin ( theta ))。

Answer 4

Sin 和 Cos 只是同一条曲线偏移二分之一弧度（或 90 度），因此：

sin(a) = cos(a + pi/2)
cos(a) = sin(pi/2 - a)

pi 为 3.14159...

Answer 5

如果您的 sin/cos 函数采用弧度：

cos(x) === sin(x+pi/2)

如果您的 sin/cos 函数采用度数：

cos(x) === sin(x+90)