matlab如何求解大型、对称和稀疏线性系统

发布于 2024-12-15 06:18:58 字数 66 浏览 2 评论 0原文

也就是说，当我对一个非常大、对称且稀疏的 A 进行 A\b 时，matlab 使用什么算法？

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樱娆 2024-12-22 06:18:58

如果矩阵是稀疏且对称正定的，但带非常很窄，则使用专门的带求解器。大多数矩阵没有足够窄的带来触发这种情况。通常，它会在样条工具箱中提供一维样条。二维问题有一个大的“带”（它们不是真正的带状矩阵）。

更典型的是，MATLAB 使用 CHOLMOD 来表示稀疏对称正定矩阵。如果矩阵是稀疏、对称且不定的，则使用 Iain Duff 的 MA49。

您可以使用此选项让 MATLAB 告诉您它在 A\b 内执行的操作：

spparms ('spumoni',3)

再次将其关闭

spparms ('spumoni',0)

然后使用“对于稀疏方阵，它使用 UMFPACK” 。对于稀疏矩形矩阵，它使用 SuiteSparseQR（或简称 spqr）。

对于下三角或上三角的稀疏矩阵，或者可以排列成这样的稀疏矩阵，它使用利用这些属性的前向/后向求解器。

MATLAB 根本不在反斜杠中使用单纯形法。如果矩阵是矩形的（又短又粗，列多于行），则 A\b 返回基本解决方案。如果您想要最小 2 范数解，则需要分解 A'。这可以在 spqr MATLAB 界面中完成，但该选项在 MATLAB 发行版中不可用。您需要从 suitesparse.com 的源代码安装 spqr。

If the matrix is sparse and symmetric positive definite, but has a very narrow band, then a specialized band solver is used. Most matrices do not have a narrow enough band to trigger this condition. Typically, this comes up with 1-D splines in the Spline Toolbox. 2-D problems have a large "band" (they are not truly banded matrices).

More typically, MATLAB uses CHOLMOD for sparse symmetric positive definite matrices. If the matrix is sparse, symmetric, and indefinite, then it uses MA49 by Iain Duff.

You can get MATLAB to tell you what it is doing inside A\b with this option:

spparms ('spumoni',3)

then turn it off again with

spparms ('spumoni',0)

For sparse square matrices it uses UMFPACK. For sparse rectangular matrices it uses SuiteSparseQR (or spqr for short).

For sparse matrices that are lower or upper triangular, or can be permuted into such, it uses a forward/back solver that exploits these properties.

MATLAB does not use the simplex method in backslash at all. If the matrix is rectangular (and short and fat, with more columns than rows) the A\b returns a basic solution. If you want a minimum 2-norm solution, you need to factorize A'. That can be done in the spqr MATLAB interface but that option is not available in the MATLAB distribution. You would need to install spqr from the source code at suitesparse.com.

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