使用 copula 分布求和的分位数太慢

Question

尝试使用带有 Beta 边际的内置 copula 分布（Clayton、Frank、Gumbel）创建两个因随机变量之和的分位数表。使用各种方法尝试了 NProbability 和 FindRoot ，但速度不够快。 我需要探索的 copula-marginal 组合的一个示例如下：

nProbClayton[t_?NumericQ, c_?NumericQ] := 
        NProbability[  x + y <= t, {x, y}  \[Distributed]    
               CopulaDistribution[{"Clayton", c}, {BetaDistribution[8, 2], 
                                                   BetaDistribution[8, 2]}]]

进行数值概率的单一评估，

nProbClayton[1.9, 1/10] // Timing // Quiet

对于使用

{4.914, 0.939718}

Vista 64 位 Core2 Duo T9600 2.80GHz 机器 (MMA 8.0.4)

以获得总和的分位数，使用

FindRoot[nProbClayton[q, 1/10] == 1/100, {q, 1, 0, 2}// Timing // Quiet

各种方法

( `Method -> Automatic`, `Method -> "Brent"`, `Method -> "Secant"` ) 

大约需要一分钟才能找到单个分位数： 计时

{48.781, {q -> 0.918646}}
{50.045, {q -> 0.918646}}
{65.396, {q -> 0.918646}}

对于其他 copula-marginal 组合，计时稍微好一些。

需要：任何改善计时的技巧/方法。

Answer 1

参数c 的 Clayton-Pareto copula 的 CDF 可以根据下式计算：

cdf[c_] := Module[{c1 = CDF[BetaDistribution[8, 2]]}, 
   (c1[#1]^(-1/c) + c1[#2]^(-1/c) - 1)^(-c) &]

那么，cdf[c][t1,t2] 是 x<< 的概率。 =t1 和 y<=t2。 来计算 x+y<=t 的概率

prob[t_?NumericQ, c_?NumericQ] := 
   NIntegrate[Derivative[1, 0][cdf[c]][x, t - x], {x, 0, t}]

这意味着您可以根据我在机器上获得的时间

prob[1.9, .1] // Timing

(* ==> {0.087518, 0.939825} *)

，请注意，我得到的概率值与原始帖子中的概率值不同。但是，运行 nProbClayton[1.9,0.1] 会产生有关收敛缓慢的警告，这可能意味着原始帖子中的结果不正确。另外，如果我将 nProbClayton 的原始定义中的 x+y<=t 更改为 x+y>t 并计算 1 -nProbClayton[1.9,0.1] 我得到 0.939825 （没有警告），这与上面的结果相同。

对于我再次得到的总和的分位数

FindRoot[prob[q, .1] == .01, {q, 1, 0, 2}] // Timing

(* ==> {1.19123, {q -> 0.912486}} *)

，我得到的结果与原始帖子中的结果不同，但与之前类似，将 x+y<=t 更改为 x+y>t 并计算 FindRoot[nProbClayton[q, 1/10] == 1-1/100, {q, 1, 0, 2}] 返回相同的值q 如上。