scipy.spatial.Delaunay 中附近的点被遗漏

Question

在比较 scipy 的（0.9.0）和 matplotlib 的（1.0.1）Delaunay 三角测量例程时，我注意到无法解释的行为。我的点是存储在 numpy.array([[easting, Northing], [easting, Northing], [easting, Northing]]) 中的 UTM 坐标。 Scipy 的边缘缺少我的一些观点，而 matplotlib 的边缘都在那里。有解决办法吗，还是我做错了什么？

import scipy
import numpy
from scipy.spatial import Delaunay
import matplotlib.delaunay


def delaunay_edges(points):
    d = scipy.spatial.Delaunay(points)
    s = d.vertices
    return numpy.vstack((s[:,:2], s[:,1:], s[:,::-2]))


def delaunay_edges_matplotlib(points):
        cens, edges, tri, neig = matplotlib.delaunay.delaunay(points[:,0], points[:,1])
        return edges


points = numpy.array([[500000.25, 6220000.25],[500000.5, 6220000.5],[500001.0, 6220001.0],[500002.0, 6220003.0],[500003.0, 6220005.0]])

edges1 = delaunay_edges(points)
edges2 = delaunay_edges_matplotlib(points)

numpy.unique(edges1).shape # Some points missing, presumably nearby ones
numpy.unique(edges2).shape # Includes all points

Answer 1

scipy.spatial.Delaunay 的这种行为可能与浮点运算的印象有关。

您可能知道，scipy.spatial.Delaunay 使用 C qhull 库来计算 Delaunay 三角剖分。 Qhull 又是 Quickhull 算法，作者在本文论文 (1) 。您可能也知道计算机中使用的浮点运算是使用 IEEE 754 标准执行的（您可以在 维基百科）。根据标准，每个有限数最简单地由三个整数描述：s= 符号（零或一），c= 有效数字（或“系数”） , q= 指数。用于表示这些整数的位数随数据类型的不同而变化。因此，很明显，浮点数在数值轴上的分布密度并不是恒定的——数字越大，分布越松散。即使使用谷歌计算器也可以看到 - 你可以从 3333333333333334 中减去 3333333333333333 和 获取 0 。发生这种情况是因为 3333333333333333 和 3333333333333334 都四舍五入为相同的浮点数。

现在，了解了舍入误差后，我们可能需要阅读论文 (1) 的第 4 章，标题为使用印象进行复制。本章描述了一种处理舍入误差的算法：

Quickhull partitions a point and determines its horizon facets by computing 
whether the point is above or below a hyperplane. We have assumed that 
computations return consistent results ... With floating-point arithmetic, we 
cannot prevent errors from occurring, but we can repair the damage after 
processing a point. We use brute force: if adjacent facets are nonconvex, one of 
the facets is merged into a neighbor. Quickhull merges the facet that minimizes 
the maximum distance of a vertex to the neighbor.

这就是可能发生的情况 - Quickhull 无法区分两个附近的点，因此它合并了两个面，从而成功消除了其中一个面。为了消除这些错误，您可以尝试移动坐标原点：

co = points[0]
points = points - co

edges1 = delaunay_edges(points)
edges2 = delaunay_edges_matplotlib(points)

print numpy.unique(edges1) 
>>> [0 1 2 3 4]
print numpy.unique(edges2)
>>> [0 1 2 3 4]

这会将计算移动到浮点数相当密集的区域。