连接贝塞尔曲线

Question

我有一个问题。假设我们有一条由四个控制点定义的三次贝塞尔曲线。现在假设，曲线是从一个点切开的，并且每个线段再次使用三次贝塞尔曲线表示。那么，现在如果我们给定两个这样的贝塞尔曲线 B1 和 B2，有没有办法知道它们是否可以连接起来形成另一个贝塞尔曲线 B？这是为了通过连接两条曲线来简化几何形状并减少控制点的数量。

Answer 1

关于这个问题的一些想法。
我建议初始贝塞尔曲线 P0-P3 带有控制点 P1 和 P2

让我们在参数 ta 和 tb 处进行两个细分。
我们现在有两条子曲线（黄色） - P0-PA3 和 PB0-P3。
蓝色间隔丢失。
PA1 和 PB2 - 已知控制点。我们必须找到未知的P1和P2。

一些方程

初始曲线：

C = P0*(1-t)^3+3*P1(1-t)^2*t+3*P2*(1-t)*t^2+P3*t^3

端点：

PA3 = P0*(1-ta)^3+3*P1*(1-ta)^2*ta+3*P2*(1-ta)*ta^2+P3*ta^3

PB0 = P0*(1-tb)^3+3*P1*(1-tb)^2*tb+3*P2*(1-tb)*tb^2+P3*tb^3

小曲线的控制点

PA1 = P0*(1-ta)+P1*ta => P1*ta = PA1 – P0*(1-ta)

PB2 = P2*(1-tb)+P3*tb => P2(1-tb) = PB2 – P3*tb

现在替换 PA3 方程中的未知点：（

**PA3***(1-tb) = **P0***(1-ta)^3*(1-tb)+3*(1-ta)^2*(1-tb)*(**PA1** – **P0***(1-ta))+3*(1-ta)*ta^2*( **PB2** – **P3***tb)+**P3***ta^3*(1-tb)

由于 SO 格式，一些乘法符号已丢失）

这是向量方程，它包含两个未知数的两个标量方程 ta< /code> 和 tb

PA3X*(1-tb) = P0X*(1-ta)^3*(1-tb)+3*(1-ta)^2*(1-tb)*(PA1X – P0X*(1-ta))+3*(1-ta)*ta^2*( PB2X – P3X*tb)+P3X*ta^3*(1-tb)

PA3Y*(1-tb) = P0Y*(1-ta)^3*(1-tb)+3*(1-ta)^2*(1-tb)*(PA1Y – P0Y*(1-ta))+3*(1-ta)*ta^2*( PB2Y – P3Y*tb)+P3Y*ta^3*(1-tb)

这个系统可以通过数值和分析来解决（事实上，Maple 用非常非常大的三次公式来解决它:( ）

如果我们有一些错误的点，那么建立某些点（PA3、PB0、PA2、PB1）的超定方程组并进行数值求解以最小化偏差。

Answer 2

您会在这里找到一个非常简单的解决方案：https://math.stackexchange.com/a/879213/65203 。

分割贝塞尔曲线时，第一部分的最后两个控制点和第二部分的前两个控制点形成的向量是共线的，它们的长度之比决定了分割时的参数值。验证公共控制点是否与参数值匹配是一件容易的事情（以避免意外共线性的情况）。