某一元素的标准差

Question

当我尝试执行时

StandardDeviation[{1}]

出现错误，

StandardDeviation::shlen: "The argument {1} should have at least two elements"

但一个元素的 std 为 0，不是吗？

Answer 1

标准差通常定义为方差的无偏估计量的平方根：

您可以轻松地看到，对于单个示例，N=1，您会得到0/0，这是未定义的。因此，Mathematica 中单个样本的标准差是未定义的。

现在，根据您的约定，您可能需要为单个样本定义标准差（返回 Null 或某个值或 0）。下面的示例向您展示了如何为单个示例定义它。

std[x_List] := Which[(Length[x] == 1), 0, True, StandardDeviation[x]]
std[{1}]
Out[1]= 0

Answer 2

常数的标准差为零。

一个样本的估计标准差是未定义的。

Answer 3

如果您想要一些形式：

p[x_] := DiracDelta[x - mu];
expValue = Integrate[x p[x] , {x, -Infinity, Infinity}]
stdDev = Sqrt[Integrate[(x - expValue)^2 p[x] , {x, -Infinity, Infinity}]]

(*
-> ConditionalExpression[mu, mu \[Element] Reals]
-> ConditionalExpression[0, mu \[Element] Reals]
*)

编辑

或者更好，使用 Mathematica ProbabilityDistribution[]：

dist = ProbabilityDistribution[DiracDelta[x - mu], {x, -Infinity, Infinity}];
{Mean[dist], StandardDeviation[dist]}

(*
 -> { mu, ConditionalExpression[0, mu \[Element] Reals]}
*)

Answer 4

如果您的总体规模是一个元素，那么总体的标准差将为 0。但是，标准差通常用于样本，而不是整个总体，因此您不必除以样本中的元素数量，而是使用除以元素数量减一。这是由于对样本而不是总体执行计算时固有的误差造成的。

对规模为 1 的总体执行标准差计算绝对没有意义，我认为这就是混乱的根源。如果您知道您的总体仅包含一个元素，那么找出该元素的标准差是毫无意义的，因此通常您会看到单个元素的标准差写为未定义。

Answer 5

标准差——衡量实际值与给定集合平均值的偏差的标准——对于一个元素的列表没有任何意义（如果需要，可以将其设置为 0）。