以最小误差求解非线性方程组

Question

我有一些非线性优化问题（最好在 python 中解决）：

给定 2D 平面中的 3 个圆（中心 x1..3，y1..3，半径 d1..3）。

(x-x1)^2 + (y-y1)^2 - r1^2 = 0
(x-x2)^2 + (y-y2)^2 - r2^2 = 0
(x-x3)^2 + (y-y3)^2 - r3^2 = 0

在这种情况下，需要公共点 (x/y)，并且可以通过 fsolve (scipy.optimize) 来计算。 但是，如果半径 r1..3 的不确定性分别为 u1..3，如何解决这个问题呢？即，圆的真实半径位于区间 ru ... r+u 内。

如何找到包含半径不确定性的最佳点 (x/y)？

Answer 1

鉴于这里的描述，这实际上并不难：
http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html

提议的算法：

1. 找到 x - 如链接中所述。
2. 计算 y。

两者都应该使用任意 2 个圆圈来完成。

1. 将点 (x,y) 和 (x,-y) 插入 3 个圆中。
2. 解决方案是所有三个圆相交于：
   x,y
   x,-y
   或者根本没有。

另一个建议...
我再次阅读了你的问题，并意识到你不想找到
。

但是，如果您在纸上画出所有 9 个圆（3 个相交的圆，加上 r+e 和 re 的 2 个较小和较大的圆，其中 e 是错误），您会注意到以下情况 您的交点位于多边形内。你
可以很容易地计算出这个多边形的顶点。然后你的问题就变成了：
找到多边形中的一个点。
或者你编写一个找到这些顶点的反对函数，然后
你最小化那个区域。

要了解我对圆圈的意思，请运行：

# excuse me for the ugly code ...
import pylab
pylab.axes()

cir = pylab.Circle((1,0), radius=1, alpha =.2, fc='b')
cir1 = pylab.Circle((1,0), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir2 = pylab.Circle((1,0), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir3 = pylab.Circle((-1,0), radius=1, alpha =.2, fc='b')
cir4 = pylab.Circle((-1,0), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir5 = pylab.Circle((-1,0), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir6 = pylab.Circle((0,-1), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir7 = pylab.Circle((0,-1), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir8 = pylab.Circle((0,-1), radius=1, alpha =.2, fc='b')
pylab.gca().add_patch(cir)
pylab.gca().add_patch(cir1)
pylab.gca().add_patch(cir2)
pylab.gca().add_patch(cir3)
pylab.gca().add_patch(cir4)
pylab.gca().add_patch(cir5)
pylab.gca().add_patch(cir6)
pylab.gca().add_patch(cir7)
pylab.gca().add_patch(cir8)

pylab.axis('scaled')
pylab.show()

Answer 2

我会尝试这种方式。对于给定点 p，我计算从该点到三个圆中每一个的距离。这可以通过取 (1) 点与圆原点之间的距离与 (2) 圆半径之间的差的绝对值来完成。那么你的目标函数是最小化三个距离的总和（p到圆A，p到圆B，p到圆C）。我会尝试算术总和，但可能有一些很好的理由以不同的方式进行聚合（集合平均类型的数学）。然后，您使用非线性包来最小化目标函数（即三个距离的总和）。

现在每个圆都有权重了。因此，您修改目标函数，以根据每个圆的不确定性来折扣距离。同样，您需要一些逻辑来完成此加权...朴素的方法是使用“加权平均值”，即将 1/sigma^2 作为每个距离的权重。所以你的目标函数就变成了

(weighted average distance) 
= ( distA * sigmaA^-2 + distB * sigmaB^-2 + distC * sigmaC^-2 ) 
   / ( sigmaA^-2 + sigmaB^-2 + sigmaC^-2) 

，其中 distX 是点到圆的距离，sigmaA 是圆位置的标准偏差（由于圆的位置和大小的不确定性），^-2 表示平方，然后除以。

使用nonlin包来最小化上面的obj。通过改变点的 x 和 y 来实现函数。