我可以相信 ceil() 结果的实数到整数的转换吗？

Question

假设我有一些代码，例如：

float a, b = ...; // both positive
int s1 = ceil(sqrt(a/b));
int s2 = ceil(sqrt(a/b)) + 0.1;

s1 != s2 有可能吗？我关心的是 a/b 何时是完全平方数。例如，也许a=100.0和b=4.0，那么ceil的输出应该是5.00000但是什么如果是4.99999？

类似的问题：100.0/4.0 是否有可能计算出 5.00001，然后 ceil 将其四舍五入为 6.00000代码>？

我更喜欢用整数数学来做这件事，但是 sqrt 有点搞砸了这个计划。

编辑：有关如何更好地实施这一点的建议也将不胜感激！ a 和 b 值是整数值，因此实际代码更像是： ceil(sqrt(float(a)/b))

< strong>编辑：根据levis501的回答，我想我会这样做：

float a, b = ...; // both positive
int s = sqrt(a/b);
while (s*s*b < a) ++s;

谢谢大家！

Answer 1

我认为这是不可能的。无论 sqrt(a/b) 的值是什么，它生成的都是某个值 N，我们将其用作：

int s1 = ceil(N);
int s2 = ceil(N) + 0.1;

由于 ceil 始终生成整数值（尽管表示为双精度值），因此我们将始终有某个值 X，第一个生成 X.0，第二个生成 X.1。转换为 int 将始终截断 .1，因此两者都会产生 X。

如果 X 太大以至于 X.1 溢出了 double 的范围，那么似乎会有例外。但我不知道这在哪里是可能的。除了接近 0（不考虑溢出）之外，数字的平方根始终小于输入数字。因此，在 ceil(N)+0.1 溢出之前，在 sqrt(a/b) 中用作输入的 a/b 必须已经溢出。

Answer 2

您可能想为您的情况编写一个显式函数。例如：

/* return the smallest positive integer whose square is at least x */
int isqrt(double x) {
  int y1 = ceil(sqrt(x));
  int y2 = y1 - 1;
  if ((y2 * y2) >= x) return y2;
  return y1;
}

这将处理奇怪的情况，即比率 a/b 的平方根在 double 的精度范围内。

Answer 3

浮点数的相等确实是一个问题，但恕我直言，如果我们处理整数则不是。

如果您遇到 100.0/4.0 的情况，它应该完美地计算为 25.0，因为 25.0 完全可以表示为浮点数，与例如25.1。

Answer 4

s1 将始终等于 s2。

C 和 C++ 标准没有过多说明数学例程的准确性。从字面上看，该标准是不可能实现的，因为 C 标准说 sqrt(x) 返回 x 的平方根，但 2 的平方根无法用浮点数精确表示。

实现具有良好性能的例程，始终返回正确舍入的结果（在舍入到最近的模式下，这意味着结果是最接近精确结果的可表示浮点数，并解决了有利于低零位的关系）是一个困难的研究问题。好的数学库的目标精度低于 1 ULP（因此返回两个最接近的可表示数字之一），也许略高于 0.5 ULP。 （ULP 是最低精度单位，即指数字段中给定特定值的低位值。）某些数学库可能比这要差得多。您必须询问您的供应商或查看文档以获取更多信息。

所以 sqrt 可能略有偏差。如果精确平方根是一个整数（在整数可以用浮点精确表示的范围内）并且库保证误差小于 1 ULP，则 sqrt 的结果必须完全正确，因为除准确结果至少还差 1 个 ULP。

同样，如果库保证错误小于 1 ULP，则 ceil 必须返回准确的结果，同样是因为准确的结果是可表示的，并且任何其他结果将至少相差 1 ULP。此外， ceil 的性质是这样的，我希望任何合理的数学库总是返回一个整数，即使库的其余部分质量不高。

对于溢出情况，如果 ceil(x) 超出了所有整数都可以精确表示的范围，则 ceil(x)+.1 比任何其他可表示的数字更接近 ceil(x)，因此舍入结果在任何实现浮点标准（IEEE 754）的系统中，将 .1 添加到 ceil(x) 应该是 ceil(x)。前提是您处于默认舍入模式，即舍入到最接近的值。可以将舍入模式更改为向无穷大舍入之类的模式，这可能会导致 ceil(x)+.1 成为大于 ceil(x) 的整数。