如何理解线性划分中的动态规划解法？

Question

我正在努力理解线性分区问题的动态规划解决方案。我正在阅读算法设计手册，问题在第8.5节中进行了描述。我已经读过该部分无数次，但我就是不明白。我认为这是一个糟糕的解释（到目前为止我读到的内容要好得多），但我无法很好地理解这个问题，无法寻找替代解释。欢迎链接到更好的解释！

我找到了一个页面，其中的文本与本书类似（可能来自本书的第一版）：分区问题。

第一个问题：在书中的示例中，分区是按从小到大的顺序排列的。这只是巧合吗？据我所知，元素的顺序对算法并不重要。

这是我对递归的理解：

让我们使用以下序列并将其划分为 4：

{S1...Sn} =  100   150   200   250   300   350   400   450   500
k = 4

第二个问题：这是我认为递归将如何开始的 - 我理解正确吗？

第一个递归是： 第二

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200   250   300 | 350 | 400 | 450 | 500 //done

个递归是： 第三个递归

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200   250 | 300   350 | 400 | 450 | 500 //done

是： 第四

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200 | 250   300   350 | 400 | 450 | 500 //done

个递归是：

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150 | 200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //done

第 5 个递归是： 第

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100 | 150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //done

6 个递归是：

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200   250 | 300 | 350   400 | 450 | 500 //done

第 7 个递归是：

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200 | 250   300 | 350   400 | 450 | 500 //done

第 8 个递归是：

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150 | 200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //done

第 9 个递归是：

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100 | 150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //done

等等...

这里是书中出现的代码：

partition(int s[], int n, int k)
{
    int m[MAXN+1][MAXK+1];                  /* DP table for values */
    int d[MAXN+1][MAXK+1];                  /* DP table for dividers */ 
    int p[MAXN+1];                          /* prefix sums array */
    int cost;                               /* test split cost */
    int i,j,x;                              /* counters */
    
    p[0] = 0;                               /* construct prefix sums */
    for (i=1; i<=n; i++) p[i]=p[i-1]+s[i];
    
    for (i=1; i<=n; i++) m[i][3] = p[i];    /* initialize boundaries */
    for (j=1; j<=k; j++) m[1][j] = s[1];
    
    
    for (i=2; i<=n; i++)                    /* evaluate main recurrence */
        for (j=2; j<=k; j++) {
            m[i][j] = MAXINT;
            for (x=1; x<=(i-1); x++) {
                cost = max(m[x][j-1], p[i]-p[x]);
                if (m[i][j] > cost) {
                    m[i][j] = cost;
                    d[i][j] = x;
                }
            }
        }

    reconstruct_partition(s,d,n,k);         /* print book partition */
}

关于算法的问题：

1. 什么值被存储在 m 和d？
2. “成本”是什么意思？它只是分区内元素值的总和吗？还是还有一些额外的更微妙的含义？

Answer 1

我在 PHP 上实现了 Óscar López 算法。请您在需要时随时使用。

 /**
 * Example: linear_partition([9,2,6,3,8,5,8,1,7,3,4], 3) => [[9,2,6,3],[8,5,8],[1,7,3,4]]
 * @param array $seq
 * @param int $k
 * @return array
 */
protected function linear_partition(array $seq, $k)
{
    if ($k <= 0) {
        return array();
    }

    $n = count($seq) - 1;
    if ($k > $n) {
        return array_map(function ($x) {
            return array($x);
        }, $seq);
    }

    list($table, $solution) = $this->linear_partition_table($seq, $k);
    $k = $k - 2;
    $ans = array();

    while ($k >= 0) {
        $ans = array_merge(array(array_slice($seq, $solution[$n - 1][$k] + 1, $n - $solution[$n - 1][$k])), $ans);
        $n = $solution[$n - 1][$k];
        $k = $k - 1;
    }

    return array_merge(array(array_slice($seq, 0, $n + 1)), $ans);
}

protected function linear_partition_table($seq, $k)
{
    $n = count($seq);

    $table = array_fill(0, $n, array_fill(0, $k, 0));
    $solution = array_fill(0, $n - 1, array_fill(0, $k - 1, 0));

    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        $table[$i][0] = $seq[$i] + ($i ? $table[$i - 1][0] : 0);
    }

    for ($j = 0; $j < $k; $j++) {
        $table[0][$j] = $seq[0];
    }

    for ($i = 1; $i < $n; $i++) {
        for ($j = 1; $j < $k; $j++) {
            $current_min = null;
            $minx = PHP_INT_MAX;

            for ($x = 0; $x < $i; $x++) {
                $cost = max($table[$x][$j - 1], $table[$i][0] - $table[$x][0]);
                if ($current_min === null || $cost < $current_min) {
                    $current_min = $cost;
                    $minx = $x;
                }
            }

            $table[$i][$j] = $current_min;
            $solution[$i - 1][$j - 1] = $minx;
        }
    }

    return array($table, $solution);
}

Answer 2

以下是 Skienna 线性分区算法在 python 中的修改实现，除了答案本身之外，它不会计算最后 k 列值： M[N][K] （单元格计算仅取决于前一个）

针对输入的测试{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（在书中的 Skienna 示例中使用）产生稍微不同的矩阵 M（给出上述修改），但正确返回最终结果（在本示例中）最小成本划分s 到 k 个范围的数量为 17 ，矩阵 D 用于打印导致此最佳值的分隔符位置列表。

import math   
    
def partition(s, k):
    # compute prefix sums

    n = len(s)
    p = [0 for _ in range(n)]
    m = [[0 for _ in range(k)] for _ in range(n)]
    d = [[0 for _ in range(k)] for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        p[i] = p[i-1] + s[i]

    # initialize boundary conditions
    for i in range(n):
        m[i][0] = p[i]

    for i in range(k):
        m[0][i] = s[0]

    # Evaluate main recurrence
    for i in range(1, n):
        """
          omit calculating the last M's column cells 
          except for the sought minimum cost M[N][K]
        """
        if i != n - 1:
            jlen = k - 1
        else:
            jlen = k

        for j in range(1, jlen):

            """
            - computes the minimum-cost partitioning  of the set {S1,S2,.., Si} into j partitions .
            - this part should be investigated more closely .
            
            """
            #
            m[i][j] = math.inf

            # This loop needs to be traced to understand it better
            for x in range(i):
                sup = max(m[x][j-1], p[i] - p[x])
                if m[i][j] > sup:
                    m[i][j] = sup
                    # record which divider position was required to achieve the value s
                    d[i][j] = x+1

    return s, d, n, k


def reconstruct_partition(S, D, N, K):
    if K == 0:
        for i in range(N):
            print(S[i], end="_")
        print(" | ", end="")
    else:
        reconstruct_partition(S, D, D[N-1][K-1], K-1)
        for i in range(D[N-1][K-1], N):
            print(S[i], end="_")
        print(" | ", end="")

# MAIN PROGRAM

S, D, N, K = partition([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], 3)

reconstruct_partition(S, D, N, K)

Answer 3

请注意，书中对算法的解释有一个小错误，请查看 勘误表 文本“(*) 第 297 页”。

关于您的问题：

1. 不，这些项目不需要排序，只需连续（也就是说，您不能重新排列它们）
2. 我相信可视化算法的最简单方法是手动跟踪reconstruct_partition 过程，使用图 8.8 中最右边的表作为指导
3. 在书中指出 m[i][j] 是“{s1, s2, ... , si} 的所有分区的最小可能成本” j 范围，其中分区的成本是其一个部分中元素的最大总和”。换句话说，如果您原谅滥用术语，那么它是“总和的最小最大值”。另一方面，d[ i][j] 存储用于为之前定义的给定对 i,j 进行分区的索引位置
4. 有关“成本”的含义，请参阅之前的答案

编辑：

这是我的实现线性划分算法。它基于 Skiena 的算法，但是以 Python 的方式；并且它返回分区列表。

from operator import itemgetter

def linear_partition(seq, k):
    if k <= 0:
        return []
    n = len(seq) - 1
    if k > n:
        return map(lambda x: [x], seq)
    table, solution = linear_partition_table(seq, k)
    k, ans = k-2, []
    while k >= 0:
        ans = [[seq[i] for i in xrange(solution[n-1][k]+1, n+1)]] + ans
        n, k = solution[n-1][k], k-1
    return [[seq[i] for i in xrange(0, n+1)]] + ans

def linear_partition_table(seq, k):
    n = len(seq)
    table = [[0] * k for x in xrange(n)]
    solution = [[0] * (k-1) for x in xrange(n-1)]
    for i in xrange(n):
        table[i][0] = seq[i] + (table[i-1][0] if i else 0)
    for j in xrange(k):
        table[0][j] = seq[0]
    for i in xrange(1, n):
        for j in xrange(1, k):
            table[i][j], solution[i-1][j-1] = min(
                ((max(table[x][j-1], table[i][0]-table[x][0]), x) for x in xrange(i)),
                key=itemgetter(0))
    return (table, solution)