为什么 MATLAB 中不满足逆等式？

Question

MATLAB 不满足逆矩阵运算，即；

(ABC)-1 = C-1 * B-1 * A-1

在 MATLAB 中，

if inv(A*B*C) == inv(C)*inv(B)*inv(A)
   disp('satisfied')
end

它不符合条件。当我制作成format long时，我意识到有点差异，但当我制作成formatrat时，它甚至不满足。

为什么会这样呢？

Answer 1

很可能是浮点错误。请注意，format 函数仅影响数字的显示方式，不是 MATLAB 计算或保存它们的方式。 因此将其设置为 rat 不会减少不准确的情况。

我还没有测试过，但您可以尝试 分数工具箱精确的有理数算术，应该与上面相等。

Answer 2

考虑这个 (MATLAB R2011a)：

a = 1e10;
>> b = inv(a)*inv(a)
b =
  1.0000e-020
>> c = inv(a*a)
c =
  1.0000e-020
>> b==c
ans =
     0
>> format hex
>> b
b =
   3bc79ca10c924224
>> c
c =
   3bc79ca10c924223

当 MATLAB 计算中间量 inv(a) 或 a*a（无论 a 是标量还是一个矩阵），它默认将它们存储为最接近的双精度浮点数 - 这是不精确的。所以当这些稍微不准确的中间结果用于后续计算时，就会出现舍入误差。

与其比较浮点数是否直接相等，例如 inv(A*B*C) == inv(C)*inv(B)*inv(A)，通常最好比较与阈值的绝对差，例如abs(inv(A*B*C) - inv(C)*inv(B)*inv(A)) <脱粒。这里的 thresh 可以是任意小数，也可以是涉及 eps 的某种表达式，它可以为您提供在您工作的精度下两个数字之间的最小差异。

format 命令仅控制结果在命令行的显示，而不控制结果内部存储的方式。特别是，formatrat 不会使 MATLAB 以符号方式进行计算。为此，您可以查看符号数学工具箱。对于诊断浮点精度问题（例如您遇到的问题），format hex 通常比 format long 更有用。